Z=-5i для z найти |z| и arg z записать числа в тригонометрической форме

Чтобы найти модуль и аргумент комплексного числа \( z = -5i \), мы будем использовать следующие определения:

1. Модуль комплексного числа \( z = x + yi \) рассчитывается по формуле: \[ |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \] В данном случае \( x = 0 \) и \( y = -5 \). Подставим значения: \[ |z| = \sqrt{0^2 + (-5)^2} = \sqrt{0 + 25} = \sqrt{25} = 5 \]

2. Аргумент комплексного числа \( z \) определяется как угол \( \theta \), который комплексное число образует с положительной осью вещественной оси. Аргумент можно вычислить по формуле: \[ \arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) \] Однако в данном случае \( x = 0 \) и \( y < 0 \), что соответствует расположению числа на отрицательной оси мнимой части. В этом случае аргумент равен: \[ \arg(z) = -\frac{\pi}{2} \quad (\text{или } 270^\circ) \]

3. Теперь выразим \( z \) в тригонометрической форме: \[ z = |z|(\cos(\arg(z)) + i\sin(\arg(z))) = 5\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) \]

   Поскольку \( \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0 \) и \( \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1 \), получаем: \[ z = 5(0 - i) = -5i \]

Таким образом, в итоге:

• Модуль: \( |z| = 5 \)
• Аргумент: \( \arg(z) = -\frac{\pi}{2} \) (или \( 270^\circ \))
• Тригонометрическая форма: \( z = 5\left(\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) + i \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right) \)

Если у вас есть дополнительные вопросы или вы хотите разобраться с другими аспектами, не стесняйтесь спрашивать!