исследовать функцию с помощью производной y=2x²+4x
Чтобы исследовать функцию \( y = 2x^2 + 4x \) с помощью производной, давайте сначала найдем её производную и затем проанализируем её поведение.
Находим производную: Производная функции \( y \) по \( x \) обозначается как \( y' \) или \( \frac{dy}{dx} \). \[ y' = \frac{d}{dx}(2x^2 + 4x) = 4x + 4 \]
Находим критические точки: Критические точки находятся, когда производная равна нулю или неопределённа. Решим уравнение: \[ 4x + 4 = 0 \] \[ 4x = -4 \quad \Rightarrow \quad x = -1 \]
Определяем интервал монотонности: Теперь нужно определить знаки производной на интервалах, разделённых критической точкой \( x = -1 \).
Для \( x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \[ y'(-2) = 4(-2) + 4 = -8 + 4 = -4 \quad (\text{производная отрицательная}) \] Значит, функция убывает на интервале \( (-\infty, -1) \).
Для \( x > -1 \) (например, \( x = 0 \)): \[ y'(0) = 4(0) + 4 = 4 \quad (\text{производная положительная}) \] Значит, функция возрастает на интервале \( (-1, +\infty) \).
Проверяем вид экстремума: Чтобы определить, является ли критическая точка максимумом или минимумом, можно воспользоваться вторичной производной: \[ y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = 4 \] Поскольку вторая производная положительна, это указывает на то, что критическая точка \( x = -1 \) является минимумом.
Находим значение функции в критической точке: Подставим \( x = -1 \) в исходную функцию: \[ y(-1) = 2(-1)^2 + 4(-1) = 2(1) - 4 = 2 - 4 = -2 \]
Таким образом, функция имеет минимум в точке \( (-1, -2) \). Обобщая, функция убывает на интервале \( (-\infty, -1) \), достигает минимума в точке \( (-1, -2) \) и возрастает на интервале \( (-1, +\infty) \).
