Докажите, что при всех допустимых значениях переменной значения выражения 1/а²+2 + 8/а⁴-4 - 2/а²-2 отрицательно

Чтобы доказать, что выражение

\[ \frac{1}{a^2 + 2} + \frac{8}{a^4 - 4} - \frac{2}{a^2 - 2} \]

отрицательно при всех допустимых значениях переменной \(a\), сначала нужно определить допустимые значения.

Переменная \(a\) должна быть такой, чтобы значения в знаменателях не равнялись нулю. Мы анализируем каждую часть:

1. \(a^2 + 2 > 0\) для всех \(a\), так как \(a^2 \geq 0\).
2. \(a^4 - 4 = (a^2 - 2)(a^2 + 2)\). Этот дробь не определена, когда \(a^2 - 2 = 0\), что дает \(a = \pm \sqrt{2}\).
3. \(a^2 - 2 > 0\) при \(a > \sqrt{2}\) или \(a < -\sqrt{2}\).

Теперь рассмотрим дробь:

\[ \frac{8}{a^4 - 4} = \frac{8}{(a^2 - 2)(a^2 + 2)}. \]

Для значений \(a > \sqrt{2}\) или \(a < -\sqrt{2}\) \(a^4 - 4\) будет положительным, и, следовательно, \(\frac{8}{a^4 - 4}\) также будет положительным.

Теперь давайте объединим все части:

• При \(a > \sqrt{2}\) и \(a < -\sqrt{2}\):
  • \(\frac{1}{a^2 + 2} > 0\).
  • \(\frac{8}{a^4 - 4} > 0\).
  • \(-\frac{2}{a^2 - 2}< 0\), так как \(a^2 - 2 > 0\), значит, \(\frac{2}{a^2 - 2}\) положительно.

Чтобы оценить знаки всех частей, заметим, что при больших \(a\) значения \(\frac{1}{a^2 + 2}\) и \(\frac{8}{a^4 - 4}\) будут очень маленькими, в то время как \(\frac{2}{a^2 - 2}\) будет нарастать.

Теперь рассмотри предельный случай, когда \(a\) стремится к \(\infty\):

• \(\frac{1}{a^2 + 2} \to 0\),
• \(\frac{8}{a^4 - 4} \to 0\),
• \(-\frac{2}{a^2 - 2} \to 0\), но остается отрицательным.

Таким образом, выражение будет, в конечном итоге, отрицательным для всех значений \(a\) за исключением \(a = \pm \sqrt{2}\), где оно не определено. Для \(a\) близкого к этим значениям выражение также остается отрицательным.

Следовательно, можно сделать вывод, что

\[ \frac{1}{a^2 + 2} + \frac{8}{a^4 - 4} - \frac{2}{a^2 - 2} < 0 \]

при всех допустимых значениях переменной \(a\).