2. В треугольнике АВС АС —2, ВС= 1, угол Сравен 30“. Найдите АВ

Для решения задачи используем теорему косинусов, которая утверждает, что для любого треугольника со сторонами \( a \), \( b \), \( c \) и углом \( C \) между сторонами \( a \) и \( b \) справедливо следующее:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]

В нашем случае:

• \( AC = 2 \) (сторона \( a \))
• \( BC = 1 \) (сторона \( b \))
• угол \( C = 30^\circ \)

Записав формулу для стороны \( AB \) (обозначим её как \( c \)), получаем:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(C) \]

Подставляем известные значения:

\[ AB^2 = 2^2 + 1^2 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos(30^\circ) \]

Значение \( \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \). Теперь подставим это значение:

\[ AB^2 = 4 + 1 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ AB^2 = 4 + 1 - 2\sqrt{3} \] \[ AB^2 = 5 - 2\sqrt{3} \]

Теперь найдем \( AB \) путем извлечения квадратного корня:

\[ AB = \sqrt{5 - 2\sqrt{3}} \]

Таким образом, длина стороны \( AB \) равна \(\sqrt{5 - 2\sqrt{3}}\).