Реши примеры комбинаторики: 1Найди n, если C n 4 = 1820
Чтобы решить уравнение \( C(n, 4) = 1820 \), начнем с формулы для сочетаний:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
В нашем случае \( k = 4 \). Таким образом, формула будет выглядеть следующим образом:
\[ C(n, 4) = \frac{n!}{4!(n-4)!} \]
Подставим значение \( C(n, 4) = 1820 \):
\[ \frac{n!}{4!(n-4)!} = 1820 \]
Зная, что \( 4! = 24 \), мы можем переписать уравнение:
\[ \frac{n!}{24(n-4)!} = 1820 \]
Умножив обе стороны на \( 24 \), получим:
\[ n! = 1820 \cdot 24 \]
Теперь посчитаем \( 1820 \cdot 24 \):
\[ 1820 \cdot 24 = 43680 \]
Теперь вернемся к формуле сочетаний, чтобы переопределить \( n \). Мы можем выразить это как:
\[ n(n-1)(n-2)(n-3) = 43680 \]
Теперь попробуем найти целое число \( n \), при котором произведение четырех подряд идущих чисел равно \( 43680 \).
Постепенно проверим значения \( n \):
- Для \( n = 11: \quad 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 = 7920 \) (меньше)
- Для \( n = 12: \quad 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 = 11880 \) (меньше)
- Для \( n = 13: \quad 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 = 17160 \) (меньше)
- Для \( n = 14: \quad 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 = 24024 \) (меньше)
- Для \( n = 15: \quad 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 = 32760 \) (меньше)
- Для \( n = 16: \quad 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 = 43680 \) (равно)
Таким образом, мы нашли, что \( n = 16 \).
Ответ: \( n = 16 \).
