Давайте рассмотрим данные конструкции и определим правильное употребление частиц "не" и "ни".
(не) мешкай, (не) спросив: Правильно будет "не мешкай" и "не спросив" — частица "не" употребляется в отрицательной форме для глагола "мешкать". В данном случае "не спросив" также указывает на то, что действие не было выполнено.
(не) смотря на большую высоту: Здесь правильно использовать "не смотря". Фраза "несмотря на" является устойчивым выражением в русском языке, обозначающим, что что-то происходит или принимается во внимание, несмотря на другие обстоятельства.
(не) доглядел за ребёнком: Здесь корректно сказать "не доглядел". Частица "не" используется для отрицания в этом случае и указывает на то, что забота о ребенке не была достаточной.
(не) достал из холодильника: Верно будет "не достал". Здесь частица "не" также указывает на отрицание относительно действия — то есть, действие не было выполнено.
Таким образом, мы имеем: "не мешкай", "не спросив", "не смотря", "не доглядел", "не достал". Если возникнут дополнительные вопросы или нужны пояснения по другим темам, не стесняйтесь задавать!