4. Найдите меньшую высоту треугольника со сторонами 24 дм, 25 дм, и 7 дм.

Чтобы найти меньшую высоту треугольника со сторонами 24 дм, 25 дм и 7 дм, сначала нужно определить, какую сторону мы будем считать основанием. Наименьшая высота будет соответствовать наибольшей стороне, т.е. 25 дм.

Сначала найдем площадь треугольника, используя формулу Герона. Для этого сначала найдем полупериметр \(s\):

\[ s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{24 + 25 + 7}{2} = 28 \text{ дм} \]

Теперь можем использовать формулу Герона для нахождения площади \(S\):

\[ S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \]

Где \(a = 24\) дм, \(b = 25\) дм, \(c = 7\) дм.

Подставим значения:

\[ S = \sqrt{28(28 - 24)(28 - 25)(28 - 7)} = \sqrt{28 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 21} \]

Теперь вычислим:

\[ S = \sqrt{28 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 21} = \sqrt{28 \cdot 12 \cdot 21} = \sqrt{7056} \]

Рассчитаем, что \(\sqrt{7056} = 84\) дм². Площадь треугольника равна 84 дм².

Теперь можем найти высоту \(h\) к основанию 25 дм с использованием формулы:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot \text{основа} \cdot \text{высота} \quad \Rightarrow \quad h = \frac{2S}{\text{основа}} = \frac{2 \cdot 84}{25} \]

Теперь подставим значения и вычислим:

\[ h = \frac{168}{25} = 6.72 \text{ дм} \]

Таким образом, меньшая высота треугольника со сторонами 24 дм, 25 дм и 7 дм составляет 6.72 дм.