В годовой контрольной работе  5 5 задач, в каждой из которых  4 4 варианта ответа. Для того чтобы не отправиться на пересдачу, ученику нужно решить верно хотя бы  2 2 задания. Ваня плохо подготовился к контрольной работе и решил расставить ответы в задачах наугад. В этом случае вероятность успеха составит  𝑝 = 1 4 p= 4 1 ​ . Какова вероятность того, что Ваня не пойдёт на пересдачу?

Чтобы определить вероятность того, что Ваня не пойдёт на пересдачу, нам следует рассмотреть все возможные варианты решения задач. Если вариантов ответов 4 в каждой задаче, а задач 5, то общее количество комбинаций ответов составляет \(4^5\), что равно 1024.

Теперь нам нужно выяснить, какова вероятность того, что он правильно ответит на хотя бы 2 задачи. Это можно сделать, подсчитав вероятности того, что он ответит верно на 0 или 1 задачу, а затем вычтя эти вероятности из 1.

1. Вероятность того, что Ваня ответит верно на 0 задач: \(P(0) = \left(\frac{1}{4}\right)^0 \left(\frac{3}{4}\right)^5 = 1 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^5 = \left(\frac{243}{1024}\right)\)

2. Вероятность того, что он ответит верно на 1 задачу: Для этого мы можем выбрать одну задачу, на которую ответ будет верным (5 способов), а остальные 4 будут неправильными: \[ P(1) = \binom{5}{1} \left(\frac{1}{4}\right)^1 \left(\frac{3}{4}\right)^4 = 5 \cdot \left(\frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{81}{256}\right) = 5 \cdot \frac{81}{1024} = \frac{405}{1024} \]

3. Общая вероятность того, что Ваня не ответит верно ни на 0, ни на 1 задачу: \[ P(0\ \text{или}\ 1) = P(0) + P(1) = \frac{243}{1024} + \frac{405}{1024} = \frac{648}{1024} \]

4. Теперь находим вероятность того, что Ваня ответит верно хотя бы на 2 задачи: \[ P(\text{хотя бы 2}) = 1 - P(0\ \text{или}\ 1) = 1 - \frac{648}{1024} = \frac{376}{1024} = \frac{47}{128} \]

Таким образом, вероятность того, что Ваня не пойдёт на пересдачу, составляет \(\frac{47}{128}\).