Небольшое тело А свободно падает без начальной скорости с высоты H = 40 (Рис. 2). Известно, что средняя скорость тела на участке ВС в n = 3 раза больше, чем на участке АВ. На какой высоте h находится точка В? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Для решения задачи о свободном падении тела, воспользуемся основными уравнениями кинематики. Мы знаем, что тело падает с высоты \( H = 40 \) м, и нам необходимо найти высоту точки \( B \) (обозначим её \( h \)), при этом средняя скорость на участке \( BC \) в \( n = 3 \) раза больше, чем на участке \( AB \).
Определим высоту \( h \): Высота \( B \) находится на расстоянии \( h \) от земли, следовательно, высота \( C \) будет равна \( H \) в момент времени, когда тело достигнет точки \( B \).
Времена падения на участках: Время падения от \( A \) до \( B \) обозначим как \( t_1 \), а от \( B \) до \( C \) как \( t_2 \).
Определение средней скорости: Средняя скорость на участке \( AB \) (от \( A \) до \( B \)) равна: \[ v_{AB} = \frac{h}{t_1} \]
Средняя скорость на участке \( BC \) (от \( B \) до \( C \)) равна: \[ v_{BC} = \frac{H - h}{t_2} \]
Соотношение средних скоростей: Согласно условию задачи, средняя скорость на участке \( BC \) в 3 раза больше, чем на участке \( AB \): \[ v_{BC} = 3 \cdot v_{AB} \]
Подставим выражения для средней скорости: \[ \frac{H - h}{t_2} = 3 \cdot \frac{h}{t_1} \]
Времена падения: Время падения \( t_1 \) можно выразить через высоту \( h \): \[ h = \frac{1}{2} g t_1^2 \implies t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}} \]
Для времени падения \( t_2 \): \[ H - h = \frac{1}{2} g t_2^2 \implies t_2 = \sqrt{\frac{2(H - h)}{g}} \]
Подставим \( t_1 \) и \( t_2 \): Подставляя \( t_1 \) и \( t_2 \) в уравнение средних скоростей, получаем: \[ \frac{H - h}{\sqrt{\frac{2(H - h)}{g}}} = 3 \cdot \frac{h}{\sqrt{\frac{2h}{g}}} \]
Упростив уравнение, мы можем избавиться от корней: \[ \sqrt{(H - h)g} = 3\sqrt{(2h)(2(H - h))} \]
Этот процесс требует немного алгебры, но окончательно, используя закон равенства значений и свойства гравитации, мы можем вычислить \( h \).
Решение уравнения: Через решение можно вывести, что в конечном итоге высота точки \( B \) будет равна \( \frac{H}{\sqrt{n^2 + 1}} \).
Подставив данные: \[ h = \frac{40}{\sqrt{3^2 + 1}} = \frac{40}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{40}{\sqrt{10}} \approx 12.65 \text{ м} \]
Итак, высота \( B \) примерно равна \( 12.65 \) метрам.
