В треугольнике авс угол с =90 ° ас=21 sign=3/7 найдите сторону АВ

Для решения задачи, давайте используем основные свойства прямоугольного треугольника и тригонометрию.

У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90°. Известно, что AC = 21, и sin угла A равен 3/7.

Согласно определению синуса в прямоугольном треугольнике:

\[ \sin(A) = \frac{\text{противоположная сторона}}{\text{гипотенуза}} \]

В нашем случае стороной, противоположной углу A, является сторона BC, а гипотенузой является сторона AB. Таким образом, используя известное значение синуса, можно записать:

\[ \sin(A) = \frac{BC}{AB} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{3}{7} = \frac{BC}{AB} \]

Теперь мы можем выразить BC через AB:

\[ BC = \frac{3}{7} AB \]

Таким образом, у нас осталась еще одна сторона - AC. В прямоугольном треугольнике ABC по теореме Пифагора выполняется следующее равенство:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Подставим известные значения:

\[ AB^2 = 21^2 + BC^2 \] \[ AB^2 = 441 + BC^2 \]

Теперь, подставив BC из нашего уравнения:

\[ AB^2 = 441 + \left(\frac{3}{7} AB\right)^2 \] \[ AB^2 = 441 + \frac{9}{49} AB^2 \]

Теперь упростим это уравнение. Умножим обе стороны на 49, чтобы избавиться от дроби:

\[ 49 AB^2 = 49 \cdot 441 + 9 AB^2 \] \[ 49 AB^2 - 9 AB^2 = 49 \cdot 441 \] \[ 40 AB^2 = 49 \cdot 441 \] \[ AB^2 = \frac{49 \cdot 441}{40} \]

Теперь можем найти квадратный корень из этой величины:

\[ AB = \sqrt{\frac{49 \cdot 441}{40}} \] \[ AB = \frac{7 \cdot \sqrt{441}}{\sqrt{40}} \] \[ AB = \frac{7 \cdot 21}{\sqrt{40}} \] \[ AB = \frac{147}{\sqrt{40}} \] \[ AB = \frac{147}{2\sqrt{10}} \]

Чтобы проще было считать, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{10}\):

\[ AB = \frac{147\sqrt{10}}{20} \]

Таким образом, мы нашли длину стороны AB.