|x ^ 2 + 2x - 5| < - x + 5

Чтобы решить неравенство |x² + 2x - 5| < -x + 5, давайте сначала разберемся с обеими частями неравенства.

1. Определим область определения: Поскольку левая часть неравенства содержит модуль, она всегда больше или равна нулю. Правую часть -x + 5 нужно также учитывать, она должна быть больше нуля, чтобы неравенство было допустимо.

   Условие -x + 5 > 0 приводится к -x > -5, что эквивалентно x < 5.

2. Рассмотрим два случая для модуля:

   • Случай 1: x² + 2x - 5 < -x + 5
   • Случай 2: -(x² + 2x - 5) < -x + 5, что упрощается до -x² - 2x + 5 < -x + 5.

Теперь решим каждый из случаев:

Случай 1: x² + 2x - 5 < -x + 5

Переносим все в одну сторону: x² + 3x - 10 < 0

Решим это неравенство. Найдем корни квадратного уравнения x² + 3x - 10 = 0 с помощью дискриминанта: D = b² - 4ac = 3² - 4 * 1 * (-10) = 9 + 40 = 49. Корни: x₁ = (-b + √D) / 2a = (-3 + 7) / 2 = 2 x₂ = (-b - √D) / 2a = (-3 - 7) / 2 = -5

Теперь исследуем знак квадратичной функции x² + 3x - 10 между корнями. Функция негативна на интервале (-5; 2).

Случай 2: -x² - 2x + 5 < -x + 5

Упрощаем это: -x² - 2x + 5 + x - 5 < 0 -x² - x < 0 x² + x > 0

Разложим на множители: x(x + 1) > 0

Здесь знаки меняются на нулях: корни: x = 0 и x = -1.

Функция положительна на интервалах (-∞, -1) и (0, +∞).

Итоговое объединение:

Мы получили:

1. Случай 1: (-5; 2)
2. Случай 2: (-∞, -1) ∪ (0, +∞)

Теперь пересечем результаты, но с учетом ограничения x < 5. Это дает нам интервал (-5, -1) и (0, 2) как решение.

Таким образом, окончательный ответ для неравенства |x² + 2x - 5| < -x + 5: x ∈ (-5, -1) ∪ (0, 2).