|x ^ 2 + 2x - 5| < - x + 5

Решите неравенство |x² + 2x - 5| < -x + 5.

1. Начнём с того, что модуль может принимать два значения: положительное и отрицательное. Поэтому сначала рассмотрим два случая.

Случай 1: \( x² + 2x - 5 < -x + 5 \)

Перепишем неравенство:

\( x² + 2x - 5 + x - 5 < 0 \)

Упростим его:

\( x² + 3x - 10 < 0 \)

Теперь найдем корни этого квадратного выражения, используя дискриминант:

\( D = b² - 4ac = 3² - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49 \)

Корни будут равны:

\( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 7}{2} \)

Таким образом, корни:

\( x_1 = 2 \) и \( x_2 = -5 \).

Теперь мы можем решить неравенство \( x² + 3x - 10 < 0 \). Оно будет верным между корнями, то есть на интервале:

\[ -5 < x < 2. \]

Случай 2: \( -(x² + 2x - 5) < -x + 5 \)

Перепишем неравенство:

\[ -x² - 2x + 5 < -x + 5 \]

Упростим до:

\[ -x² - 2x + x < 0 \]

Получается:

\[ -x² - x < 0 \]

Умножим всё на -1 (не забывайте менять знак неравенства):

\[ x² + x > 0 \]

Это равно:

\[ x(x + 1) > 0. \]

Теперь можем найти корни этого неравенства, они равны 0 и -1. Чтобы определить, при каких x оно положительно, проведем тестирование на интервалах:

1. \( (-\infty, -1) \) — здесь произведение положительно.
2. \( (-1, 0) \) — здесь произведение отрицательно.
3. \( (0, +\infty) \) — здесь произведение положительно.

Таким образом, \( x(x + 1) > 0 \) выполняется для \( x < -1 \) и \( x > 0 \).

Итак, мы объединим результаты из обоих случаев:

1. Для первого случая: \( -5 < x < 2 \).
2. Для второго случая: \( x < -1 \) и \( x > 0 \).

Объединим эти промежутки:

• Из первого случая у нас есть интервал \( (-5, 2) \).
• Из второго случая \( (-\infty, -1) \) и \( (0, +\infty) \).

Объединяя:

• \( -5 < x < -1 \) и \( 0 < x < 2 \).

Финальный ответ:

\[ (-5, -1) \cup (0, 2) \].

Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужна помощь с другим материалом, не стесняйтесь спрашивать!