|5-4x|>=5+3x-3x^2
Чтобы решить неравенство \(|5 - 4x| \geq 5 + 3x - 3x^2\), начнем с того, что упростим правую часть:
- Сначала преобразуем правую часть: \[ 5 + 3x - 3x^2 = -3x^2 + 3x + 5 \]
Теперь имеем неравенство: \[ |5 - 4x| \geq -3x^2 + 3x + 5 \]
- Рассмотрим два случая для модуля \(|5 - 4x|\):
Случай 1: \(5 - 4x \geq 0\) (то есть \(x \leq \frac{5}{4}\)): \[ 5 - 4x \geq -3x^2 + 3x + 5 \] Упростим это неравенство: \[ -4x \geq -3x^2 + 3x \] Переносим все на одну сторону: \[ 3x^2 - 7x \geq 0 \] Факторизуем: \[ x(3x - 7) \geq 0 \] Решив это неравенство, находим, что нули находятся в точках \(x = 0\) и \(x = \frac{7}{3}\). Интервалы: \( (-\infty, 0) \cup [\frac{7}{3}, \infty) \).
Случай 2: \(5 - 4x < 0\) (то есть \(x > \frac{5}{4}\)): \[ -(5 - 4x) \geq -3x^2 + 3x + 5 \] Упрощаем: \[ 4x - 5 \geq -3x^2 + 3x + 5 \] Переносим все на одну сторону: \[ 3x^2 + x - 10 \geq 0 \] Факторизуем: \[ (3x - 5)(x + 2) \geq 0 \] Теперь найдем нули: \(x = \frac{5}{3}\) и \(x = -2\), находим интервалы: \( (-\infty, -2) \cup [\frac{5}{3}, \infty) \).
- Теперь объединяем оба случая и ищем пересечение с условиями:
- Из первого случая мы получили: \( (-\infty, 0) \cup [\frac{7}{3}, \infty) \)
- Из второго случая: \( (-\infty, -2) \cup [\frac{5}{3}, \infty) \)
Объединяя результаты, мы получаем окончательный ответ для решения:
\[ x \in (-\infty, -2) \cup [\frac{5}{3}, \infty) \text{ и } [\frac{7}{3}, \infty) \]
Таким образом, ответ: \[ x \in (-\infty, -2) \cup [\frac{5}{3}, \infty) \]
