ТЕМА: Практическая работа "Вычисление вероятностей с использованием комбинаторных функций" ЦЕЛЬ УРОКА: вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятности с использованием формул комбинаторики, 1. В урне находится 10 шаров, из них 6 белых и 4 черных шара. Вынули из урны 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара - белые? 2. Набирая номер телефона, абонент забыл последние 3 цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их на удачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры. 3. В команде 15 человек, из них 10 человек девушки. Какая вероятность выбрать девушек из этой команды капитаном и вице-капитаном?

Конечно! Давайте разберем каждую задачу по порядку, чтобы понять, как вычислять вероятности с использованием комбинаторных функций.

Задача 1:

В урне находится 10 шаров, из них 6 белых и 4 черных шара. Вынули из урны 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара - белые?

Для решения этой задачи мы можем использовать классическую формулу определения вероятности:

\[ P(A) = \frac{N(A)}{N} \]

где \( N(A) \) — количество благоприятных исходов, а \( N \) — общее количество возможных исходов.

1. Общее количество способов вынуть 2 шара из 10:

   Мы используем формулу комбинаторики для вычисления числа сочетаний:

   \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

   Здесь \( n = 10 \) (всего шаров), \( k = 2 \) (вытаскиваемые шары):

   \[ C(10, 2) = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \]

2. Количество способов выбрать 2 белых шара из 6:

   \[ C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \]

3. Теперь находим вероятность того, что оба шара белые:

   \[ P(оба \, белые) = \frac{C(6, 2)}{C(10, 2)} = \frac{15}{45} = \frac{1}{3} \]

Итак, вероятность того, что оба шара белые, составляет \( \frac{1}{3} \).

Задача 2:

Набирая номер телефона, абонент забыл последние 3 цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их на удачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

1. Общее количество доступных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (всего 10 цифр).

2. Количество способов выбрать 3 разные цифры из 10:

   \[ C(10, 3) = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120 \]

3. Количество способов расположить 3 выбранные цифры: поскольку порядок имеет значение, это произведение на количество перестановок трёх цифр:

   \[ 3! = 6 \]

4. Общее количество удачных комбинаций: если у вас есть конкретные 3 нужные цифры, существует только 1 способ их набрать правильно. Следовательно, вероятность:

   \[ P(нужные \, цифры) = \frac{1}{120 \times 6} = \frac{1}{720} \]

Таким образом, вероятность того, что абонент наберет нужные цифры, составляет \( \frac{1}{720} \).

Задача 3:

В команде 15 человек, из них 10 человек девушки. Какая вероятность выбрать девушек из этой команды капитаном и вице-капитаном?

1. Общее количество способов выбрать капитана и вице-капитана: Поскольку порядок важен (сначала выбираем капитана, затем вице-капитана):

   \[ P(выбор) = 15 \times 14 = 210 \]

2. Количество способов выбрать девушек на эти должности: При выборе двух девушек:

   \[ P(девушки) = 10 \times 9 = 90 \]

3. Теперь находим вероятность, что оба выбраны девушки:

   \[ P(девушки) = \frac{90}{210} = \frac{3}{7} \]

Следовательно, вероятность того, что капитаном и вице-капитаном будут девушки, составляет \( \frac{3}{7} \).

Если у вас остались вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь обращаться!