Решить систему уравнений методом Гауса: x-y-z=3 2x-y+z=0 x-2y-2z=1
Чтобы решить систему уравнений методом Гаусса, сначала запишем систему уравнений в виде расширенной матрицы:
\[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & | & 3 \\ 2 & -1 & 1 & | & 0 \\ 1 & -2 & -2 & | & 1 \end{pmatrix} \]
Теперь будем приводить матрицу к ступенчатому виду.
Первый шаг: Убедимся, что первый элемент первого столбца равен 1. В нашем случае это так, потому что он равен 1.
Второй шаг: Устраняем первый элемент второго уравнения. Для этого вычтем 2 раза первое уравнение из второго:
\[ 2x - y + z - 2(x - y - z) = 0 - 2(3) \] \[ 2x - y + z - 2x + 2y + 2z = -6 \] \[ y + 3z = -6 \]
Теперь система выглядит следующим образом:
\[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & | & 3 \\ 0 & 1 & 3 & | & -6 \\ 1 & -2 & -2 & | & 1 \end{pmatrix} \]
- Третий шаг: Устраняем первый элемент в третьем уравнении. Вычтем первое уравнение из третьего:
\[ x - 2y - 2z - (x - y - z) = 1 - 3 \] \[ -y - z = -2 \] \[ y + z = 2 \]
Теперь у нас есть новая система:
\[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 & | & 3 \\ 0 & 1 & 3 & | & -6 \\ 0 & 1 & 1 & | & 2 \end{pmatrix} \]
- Четвертый шаг: Устраняем второй элемент в третьем уравнении. Вычтем второе уравнение из третьего:
\[ y + z - (y + 3z) = 2 - (-6) \] \[ -2z = 8 \] \[ z = -4 \]
- Подставляем значение \( z = -4 \) во второе уравнение, чтобы найти \( y \):
\[ y + 3(-4) = -6 \] \[ y - 12 = -6 \] \[ y = 6 \]
- Теперь подставляем значения \( y = 6 \) и \( z = -4 \) в первое уравнение, чтобы найти \( x \):
\[ x - 6 - (-4) = 3 \] \[ x - 6 + 4 = 3 \] \[ x - 2 = 3 \] \[ x = 5 \]
Таким образом, у нас получились значения для переменных:
\[ x = 5, \quad y = 6, \quad z = -4. \]
Ответ: \( x = 5, \quad y = 6, \quad z = -4. \)
