Для правильной монеты мы полагаем, что вероятность выпадения орла равна 0,5. Разумно ли ожидать, что при 100 бросаниях монеты орёл выпадет: а) 5 раз; б) 49 раз; в) 90 раз.
Чтобы оценить, насколько разумно ожидать определенное количество орлов при 100 бросках монеты, можно воспользоваться нормальным распределением, поскольку число бросков достаточно велико (в данном случае 100).
При бросках правильной монеты с вероятностью \( p = 0.5 \) количество орлов \( X \) можно описать биномиальным распределением:
\[ X \sim B(n=100, p=0.5) \]
Среднее значение \( \mu \) и дисперсия \( \sigma^2 \) биномиального распределения вычисляются следующим образом:
\[ \mu = n \cdot p = 100 \cdot 0.5 = 50 \]
\[ \sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p) = 100 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 25 \]
Стандартное отклонение \( \sigma \) будет равно:
\[ \sigma = \sqrt{25} = 5 \]
Теперь рассмотрим каждое из предложенных значений:
а) 5 раз. Это значение значительно ниже среднего (50) и находится на 9 стандартных отклонений ниже. Вероятность такого события будет крайне мала. Можно сказать, что это очень маловероятный сценарий.
б) 49 раз. Это значение близко к среднему (50) и находится всего на 0.2 стандартных отклонения ниже. Это вполне разумное ожидание.
в) 90 раз. Это значение значительно выше среднего (50) и находится на 8 стандартных отклонений выше. Вероятность такого события также будет крайне мала, что делает его маловероятным.
Таким образом, разумно ожидать выпадение орла:
- а) 5 раз — нет.
- б) 49 раз — да.
- в) 90 раз — нет.
