как возвести в квадрат уравнение и на удвоенное проведение первого на второе √2х+6=5-√x-4
Чтобы решить уравнение \(\sqrt{2x + 6} = 5 - \sqrt{x - 4}\), начнём с того, что нужно избавиться от квадратных корней. Для этого возведем обе стороны уравнения в квадрат. Однако сначала убедимся, что выражение под корнем не будет отрицательным.
- Убедимся, что \(x - 4 \geq 0\), что означает \(x \geq 4\).
- Теперь можем возвести обе стороны в квадрат:
\[ (\sqrt{2x + 6})^2 = (5 - \sqrt{x - 4})^2 \]
Это даст нам:
\[ 2x + 6 = 25 - 10\sqrt{x - 4} + (x - 4) \]
Упрощаем правую часть:
\[ 2x + 6 = x + 21 - 10\sqrt{x - 4} \]
- Переносим все члены, содержащие \(x\) налево, а свободные справа:
\[ 2x - x + 6 - 21 = -10\sqrt{x - 4} \]
Это упрощается до:
\[ x - 15 = -10\sqrt{x - 4} \]
- Теперь, чтобы избавиться от отрицательного знака, можем умножить обе стороны на -1:
\[ 15 - x = 10\sqrt{x - 4} \]
- Далее вновь возводим обе стороны в квадрат:
\[ (15 - x)^2 = (10\sqrt{x - 4})^2 \]
Получаем:
\[ 225 - 30x + x^2 = 100(x - 4) \]
- Упрощаем правую часть:
\[ 225 - 30x + x^2 = 100x - 400 \]
- Переносим все в одну сторону:
\[ x^2 - 30x + 225 - 100x + 400 = 0 \]
Собираем подобные члены:
\[ x^2 - 130x + 625 = 0 \]
- Теперь уравнение квадратное, решим его с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-130)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 625 = 16900 - 2500 = 14400 \]
- Находим корни:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{130 \pm 120}{2} \]
Это даёт два решения:
\[ x_1 = \frac{250}{2} = 125 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{10}{2} = 5 \]
- Теперь проверим, подходят ли эти корни к изначальному уравнению, так как мы можем получить лишние решения при возведении в квадрат:
- Для \(x = 125\):
\(\sqrt{2(125) + 6} = \sqrt{256} = 16\)
\(5 - \sqrt{125 - 4} = 5 - \sqrt{121} = 5 - 11 = -6\) (не является решением)
- Для \(x = 5\):
\(\sqrt{2(5) + 6} = \sqrt{16} = 4\)
\(5 - \sqrt{5 - 4} = 5 - 1 = 4\) (решение верное)
Таким образом, единственным решением уравнения является \(x = 5\).
