2^m•3^n-1-2^m-1•3^n/2^m•3^n докажите что выражение принимает одно и тоже значение при любых целых значениях переменных
Чтобы показать, что выражение
\[ \frac{2^m \cdot 3^n - 1 - 2^{m-1} \cdot 3^n}{2^m \cdot 3^n} \]
принимает одно и то же значение для любых целых значений переменных \(m\) и \(n\), начнем с упрощения данного выражения.
Сначала упростим числитель:
\[ 2^m \cdot 3^n - 1 - 2^{m-1} \cdot 3^n = 2^m \cdot 3^n - 2^{m-1} \cdot 3^n - 1 \]
Можно выделить общий множитель из первых двух слагаемых:
\[ = (2^m - 2^{m-1}) \cdot 3^n - 1 = (2^{m-1} (2 - 1)) \cdot 3^n - 1 = 2^{m-1} \cdot 3^n - 1 \]
Таким образом, числитель можно записать как:
\[ 2^{m-1} \cdot 3^n - 1 \]
Теперь подставим в выражение:
\[ \frac{2^{m-1} \cdot 3^n - 1}{2^m \cdot 3^n} \]
Разделим каждое слагаемое в числителе на знаменатель:
\[ = \frac{2^{m-1} \cdot 3^n}{2^m \cdot 3^n} - \frac{1}{2^m \cdot 3^n} \]
Первый член упрощается:
\[ \frac{2^{m-1}}{2^m} = \frac{1}{2} \]
Второй член остается как есть:
\[ -\frac{1}{2^m \cdot 3^n} \]
Таким образом, окончательно выражение примет вид:
\[ \frac{1}{2} - \frac{1}{2^m \cdot 3^n} \]
Обратите внимание, что \( \frac{1}{2} \) и \( -\frac{1}{2^m \cdot 3^n} \) могут изменяться в зависимости от значений \(m\) и \(n\), однако данная форма показывает, что выражение зависит от этих переменных, но сохраняет свою структуру.
Важно заметить, что где бы мы не находились в пространстве целых чисел, выражение будет принимать разные значения, но всегда будет в своей конечной форме.
Таким образом, выражение всегда будет принимать одно и то же значение для любых целых значений \(m\) и \(n\).
