315 Даны два набора чисел. Отметьте числа на числовой прямой. Определите на глаз, у какого из наборов рассеивание значений больше. Проверьте ваш глазомер, вычислив и сравнив дисперсии наборов. а) 2, 3, 4 и 6, 7, 8; б) 3, 5, 7, 9 и 12, 14, 16, 18.

Давайте разберем данную задачу по шагам.

Шаг 1: Отметим числа на числовой прямой

Для каждого набора чисел отметим их на числовой прямой:

Набор а: 2, 3, 4, 6, 7, 8
Набор б: 3, 5, 7, 9, 12, 14, 16, 18

На числовой прямой мы можем видеть следующее:

• Набор а: числа расположены ближе друг к другу, за исключением 2 и 8, которые являются крайними точками.
• Набор б: числа распределены более широко и имеют больший разброс (например, разница между 3 и 18).

На глаз кажется, что набор б имеет большее рассеивание значений.

Шаг 2: Вычислим дисперсию каждого набора

Дисперсия (\(D\)) рассчитывается по формуле:

\[ D = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \bar{x})^2 \]

где \(N\) — количество значений, \(x_i\) — каждое значение, \(\bar{x}\) — среднее значение набора данных.

Набор а:

1. Найдем среднее значение: \[ \bar{x_a} = \frac{2 + 3 + 4 + 6 + 7 + 8}{6} = \frac{30}{6} = 5 \]

2. Вычисляем дисперсию: \[ D_a = \frac{1}{6} \left((2-5)^2 + (3-5)^2 + (4-5)^2 + (6-5)^2 + (7-5)^2 + (8-5)^2\right) \] \[ D_a = \frac{1}{6} \left(9 + 4 + 1 + 1 + 4 + 9\right) = \frac{28}{6} \approx 4.67 \]

Набор б:

1. Найдем среднее значение: \[ \bar{x_b} = \frac{3 + 5 + 7 + 9 + 12 + 14 + 16 + 18}{8} = \frac{84}{8} = 10.5 \]

2. Вычисляем дисперсию: \[ D_b = \frac{1}{8} \left((3-10.5)^2 + (5-10.5)^2 + (7-10.5)^2 + (9-10.5)^2 + (12-10.5)^2 + (14-10.5)^2 + (16-10.5)^2 + (18-10.5)^2\right) \] \[ D_b = \frac{1}{8} \left(56.25 + 30.25 + 12.25 + 2.25 + 2.25 + 12.25 + 30.25 + 56.25\right) = \frac{142.0}{8} = 17.75 \]

Шаг 3: Сравнение дисперсий

Теперь сравним вычисленные дисперсии:

• Дисперсия набора а: \(D_a \approx 4.67\)
• Дисперсия набора б: \(D_b = 17.75\)

Таким образом, набор б действительно имеет большее рассеивание значений, как мы и предполагали на глаз. Если у вас будут ещё вопросы или потребуется помощь с другими задачами, обращайтесь!