Сократите дробь (3x ^ 2 + 7x - 6)/(4 - 9x ^ 2)
Чтобы сократить дробь \((3x^2 + 7x - 6) / (4 - 9x^2)\), сначала найдем корни числителя и знаменателя, а затем попробуем представить их в факторизованном виде.
Числитель: \(3x^2 + 7x - 6\) Мы можем попробовать разложить его на множители. Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121 \] Так как дискриминант положительный, у нас два корня: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 11}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 11}{6} = \frac{-18}{6} = -3 \] Таким образом, числитель можно разложить как: \[ 3x^2 + 7x - 6 = 3(x - \frac{1}{3})(x + 3) = (3x - 1)(x + 3) \]
Знаменатель: \(4 - 9x^2\) Этот многочлен можно привести в стандартный вид и разложить: \[ 4 - 9x^2 = 4(1 - \frac{9}{4}x^2) = 4(1 - (\frac{3}{2}x)^2) = 4(1 - \frac{3}{2}x)(1 + \frac{3}{2}x) \]
Теперь мы можем записать дробь в разложенном виде: \[ \frac{(3x - 1)(x + 3)}{4(1 - \frac{3}{2}x)(1 + \frac{3}{2}x)} \]
Теперь сокращаем дробь, если есть общие множители. В данном случае нельзя упростить дробь, так как нет общих множителей в числителе и знаменателе.
Таким образом, финальная форма дроби останется: \[ \frac{(3x - 1)(x + 3)}{4(1 - \frac{3}{2}x)(1 + \frac{3}{2}x)} \]
Если вас интересуют еще какие-либо детали по этой теме, не стесняйтесь спрашивать!
