х²-4х+9<0

Чтобы решить неравенство \(x² - 4x + 9 < 0\), начнем с анализа соответствующего квадратного уравнения \(x² - 4x + 9 = 0\).

1. Определим дискриминант. Формула для дискриминанта \(D\) выглядит так: \[ D = b² - 4ac \] Здесь \(a = 1\), \(b = -4\) и \(c = 9\). Подставим значения: \[ D = (-4)² - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 - 36 = -20 \] Поскольку дискриминант отрицательный (\(D < 0\)), это означает, что уравнение не имеет действительных корней.

2. Анализ параболы. Квадратная функция \(f(x) = x² - 4x + 9\) представляет собой параболу, открывающуюся вверх (так как коэффициент перед \(x²\) положителен). Поскольку у уравнения нет действительных корней, парабола не пересекает ось \(x\).

3. Проверим значение функции. Чтобы понять, остаётся ли функция всегда положительной, можно найти вершину параболы. Вершина параболы находится по формуле: \[ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \] Теперь подставим \(x = 2\) в исходную функцию: \[ f(2) = 2² - 4 \cdot 2 + 9 = 4 - 8 + 9 = 5 \] Значение функции в вершине положительно.

Таким образом, поскольку парабола не имеет действительных корней и значение функции в её вершине положительно, получаем, что \(x² - 4x + 9 > 0\) для всех \(x\).

4. Заключение. Следовательно, неравенство \(x² - 4x + 9 < 0\) не имеет решений. Значит, не существует таких \(x\), для которых данное неравенство выполнено.