16x-x²≤0
Чтобы решить неравенство \(16x - x^2 \leq 0\), сначала приведём его к стандартному виду:
\[ -x^2 + 16x \leq 0 \]
Теперь можно умножить всё уравнение на \(-1\) (не забывая изменить знак неравенства):
\[ x^2 - 16x \geq 0 \]
Следующий шаг — вынести общий множитель:
\[ x(x - 16) \geq 0 \]
Теперь найдем нули этого произведения, решая уравнение \(x(x - 16) = 0\). Корни будут:
\[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 16 \]
Теперь определяем интервалы для тестирования знака выражения \(x(x - 16)\):
- Интервал \((-∞, 0)\)
- Интервал \((0, 16)\)
- Интервал \((16, +∞)\)
Теперь проверим значения в каждом из интервалов:
Для \(x < 0\) (например, \(x = -1\)): \(-1(-1 - 16) = -1 \cdot -17 = 17 \geq 0\) (истинно)
Для \(0 < x < 16\) (например, \(x = 1\)): \(1(1 - 16) = 1 \cdot -15 = -15 < 0\) (ложно)
Для \(x > 16\) (например, \(x = 17\)): \(17(17 - 16) = 17 \cdot 1 = 17 \geq 0\) (истинно)
Согласно результатам, неравенство истинно на интервалах \(x \in (-\infty, 0]\) и \(x \in [16, +\infty)\).
Таким образом, окончательный ответ:
\[ x \in (-\infty, 0] \cup [16, +\infty) \]
