64x-x²≥0

Чтобы решить неравенство \(64x - x^2 \geq 0\), начнем с его переписывания. Это неравенство можно записать в стандартной форме, переместив все слагаемые в одну сторону:

\[ -x^2 + 64x \geq 0 \]

Теперь, чтобы упростить, можно домножить обе стороны на -1 (не забудьте, что при этом меняется знак неравенства):

\[ x^2 - 64x \leq 0 \]

Следующим шагом будет факторизация левой части:

\[ x(x - 64) \leq 0 \]

Теперь мы можем найти нули функции, приравняв каждое слагаемое к нулю:

1. \(x = 0\)
2. \(x - 64 = 0 \Rightarrow x = 64\)

Это дает нам два критических значения: \(x = 0\) и \(x = 64\).

Теперь определим промежутки, в которых будет выполняться неравенство. Разделим числовую прямую на три части, используя критические значения:

1. \(x < 0\)
2. \(0 \leq x \leq 64\)
3. \(x > 64\)

Теперь протестируем каждую из этих частей:

• Для \(x < 0\) (например, \(x = -1\)): \(-1(-1 - 64) = -1 \cdot (-65) = 65 \geq 0\) (выполняется)

• Для \(0 \leq x \leq 64\) (например, \(x = 32\)): \(32(32 - 64) = 32 \cdot (-32) = -1024 \leq 0\) (выполняется)

• Для \(x > 64\) (например, \(x = 65\)): \(65(65 - 64) = 65 \cdot 1 = 65 \geq 0\) (не выполняется)

Теперь подводим итоги:

Неравенство \(x(x - 64) \leq 0\) выполняется для промежутка:

\[ 0 \leq x \leq 64 \]

Таким образом, решение неравенства \(64x - x^2 \geq 0\) можно записать в виде:

\[ x \in [0, 64] \]

Если есть какие-либо дополнительные вопросы или необходима дополнительная помощь, не стесняйтесь задавать!