исследуй данную функцию: f (x)= -4x²+4x-1
Чтобы исследовать данную функцию \( f(x) = -4x^2 + 4x - 1 \), выполним несколько шагов, включая определение её свойств, нахождение корней, максимумов и графического изображения.
Тип функции: Это квадратичная функция, так как она имеет форму \( ax^2 + bx + c \), где \( a = -4 \), \( b = 4 \), и \( c = -1 \). Так как \( a < 0 \), это парабола, направленная вниз.
Нахождение корней: Чтобы найти корни уравнения \( f(x) = 0 \), используем формулу квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \] где \( D = b^2 - 4ac \).
Подставим значения: \[ D = 4^2 - 4 \cdot (-4) \cdot (-1) = 16 - 16 = 0 \] Поскольку дискриминант \( D = 0 \), у уравнения есть один двойной корень: \[ x = \frac{-4}{2 \cdot -4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]
Нахождение координат вершины: Вершина параболы задается координатами \( x_v = -\frac{b}{2a} \): \[ x_v = -\frac{4}{2 \cdot -4} = \frac{1}{2} \] Подставим \( x_v \) в функцию, чтобы найти соответствующее значение \( y_v \): \[ f\left(\frac{1}{2}\right) = -4\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 4\left(\frac{1}{2}\right) - 1 = -4 \cdot \frac{1}{4} + 2 - 1 = -1 + 2 - 1 = 0 \] Таким образом, вершина функции \( (x_v, y_v) = \left(\frac{1}{2}, 0\right) \).
Нахождение интервалов возрастания и убывания: Поскольку функция направлена вниз, она возрастает на интервале \( (-\infty, \frac{1}{2}) \) и убывает на интервале \( (\frac{1}{2}, +\infty) \).
График функции: График функции представляет собой параболу с вершиной в точке \( \left(\frac{1}{2}, 0\right) \), которая пересекает ось \( x \) в этой точке и направлена вниз.
Таким образом, функция имеет один корень, достигает максимума в вершине, а затем убывает. Если у вас есть дополнительные вопросы или вы хотите рассмотреть другие аспекты функции, не стесняйтесь спрашивать!
