решите уравнение, разложив на множители его левую часть: 1) у³+6у²–8у=0 2) (х²+15)²–64х²=0
Для решения ваших уравнений, давайте разложим левую часть на множители.
- Уравнение: \( y^3 + 6y^2 - 8y = 0 \)
Сначала вынесем общий множитель \(y\):
\[ y(y^2 + 6y - 8) = 0 \]
Теперь мы можем решить уравнение \(y = 0\) и вторую часть \(y^2 + 6y - 8 = 0\). Чтобы разложить этот двучлен, используем формулу корней квадратного уравнения:
\[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36 + 32 = 68 \]
Теперь найдем корни:
\[ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{68}}{2} \]
\[ y_{1,2} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{17}}{2} = -3 \pm \sqrt{17} \]
Таким образом, у нас есть три корня:
\[ y = 0, \quad y = -3 + \sqrt{17}, \quad y = -3 - \sqrt{17} \]
- Уравнение: \((x^2 + 15)^2 - 64x^2 = 0\)
Сначала преобразуем уравнение:
\[ (x^2 + 15)^2 = 64x^2 \]
Теперь возьмем квадратный корень:
\[ x^2 + 15 = 8x \quad \text{или} \quad x^2 + 15 = -8x \]
Решим первое уравнение:
\[ x^2 - 8x + 15 = 0 \]
Для данного уравнения найдем дискриминант \(D\):
\[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4 \]
Теперь найдем корни:
\[ x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{8 \pm 2}{2} = 5 \quad \text{и} \quad 3 \]
Теперь решим второе уравнение:
\[ x^2 + 8x + 15 = 0 \]
Находим его дискриминант \(D\):
\[ D = (8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4 \]
Корни будут:
\[ x_{1,2} = \frac{-8 \pm 2}{2} = -3 \quad \text{и} \quad -5 \]
Таким образом, у нас есть четыре корня для второго уравнения:
\[ x = 5, \quad x = 3, \quad x = -3, \quad x = -5 \]
Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, дайте знать!
