Сумма двух натуральных чисел равна 50 А произведение на 11 меньше чем разность этих квадратов найдите эти числа
Чтобы решить эту задачу, давайте введем обозначения для двух натуральных чисел. Обозначим их как \(x\) и \(y\).
Из условия задачи у нас есть две информации:
Сумма двух чисел равна 50: \[ x + y = 50 \]
Произведение на 11 меньше, чем разность их квадратов: \[ xy + 11 < x^2 - y^2 \] Заметим, что разность квадратов можно разложить по формуле: \[ x^2 - y^2 = (x + y)(x - y) \] Подставим первую информацию в эту формулу: \[ x^2 - y^2 = 50(x - y) \] Теперь перепишем второе условие: \[ xy + 11 < 50(x - y) \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- \(x + y = 50\)
- \(xy + 11 < 50(x - y)\)
Из первого уравнения можно выразить одно число через другое. Например, выразим \(y\) через \(x\): \[ y = 50 - x \]
Теперь подставим это выражение во второе неравенство: \[ x(50 - x) + 11 < 50(x - (50 - x)) \] Упростим: \[ 50x - x^2 + 11 < 50(2x - 50) \] \[ 50x - x^2 + 11 < 100x - 2500 \] Теперь соберем все в одну сторону: \[ -x^2 + 50x + 11 + 2500 < 100x \] Упрощаем: \[ -x^2 - 50x + 2511 < 0 \] Домножим на -1 (не забывая менять знак неравенства): \[ x^2 + 50x - 2511 > 0 \]
Теперь нужно найти корни этого квадратного неравенства. Для этого используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 50^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2511) = 2500 + 10044 = 12544 \] Теперь находим корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-50 \pm \sqrt{12544}}{2} = \frac{-50 \pm 112}{2} \] Это дает два корня:
- \(x_1 = \frac{62}{2} = 31\)
- \(x_2 = \frac{-162}{2} = -81\) (это не натуральное число и не подходит)
Таким образом, \(x = 31\). Теперь найдем \(y\): \[ y = 50 - x = 50 - 31 = 19 \]
Окончательные числа: \(31\) и \(19\).
Для проверки:
- Сумма: \(31 + 19 = 50\) (всё верно).
- Произведение: \(31 \times 19 = 589\).
- Разность квадратов: \(31^2 - 19^2 = (31 + 19)(31 - 19) = 50 \times 12 = 600\).
Проверим неравенство: \[ 589 + 11 < 600 \quad \text{(580 < 600 - верно)} \]
Таким образом, найденные числа \(31\) и \(19\) соответствуют всем условиям задачи.
