В университете студентам первого курса предлагают на выбор 18 дополнительных курсов. Сколькими способами студент-первокурсник может выбрать 9 из них?
Чтобы найти количество способов, которыми студент может выбрать 9 курсов из 18, мы можем использовать формулу для сочетаний:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
где \( n \) — общее количество объектов (в данном случае 18 курсов), \( k \) — количество выбираемых объектов (в данном случае 9 курсов), а \( ! \) обозначает факториал.
Подставляем значения в формулу:
\[ C(18, 9) = \frac{18!}{9!(18-9)!} = \frac{18!}{9! \cdot 9!} \]
Теперь вычислим:
- \( 18! = 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9! \)
- Таким образом, мы можем сократить \( 9! \) в числителе и знаменателе:
\[ C(18, 9) = \frac{18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10}{9!} \]
Теперь можно вычислить \( 9! = 362880 \).
Теперь подставим и вычислим.
Вычисления:
\[ 18 \times 17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 = 6402373705728000 \]
А затем делим на \( 362880 \):
\[ C(18, 9) = \frac{6402373705728000}{362880} = 17672631900 \]
Таким образом, студент может выбрать 9 дополнительных курсов из 18 следующими способами: 48620.
