2. В треугольнике АВС угол А=45°, угол В=120°. Найти АС, если ВС=12√6. 1.В треугольнике АВС угол А=45°, угол С=15°, ВС = 4√6. Найти АС

Чтобы найти длину стороны \( AC \) в треугольнике \( ABC \), можем использовать закон синусов.

Для первого треугольника \( \triangle ABC \), где \( \angle A = 45° \), \( \angle B = 120° \) и \( BC = 12\sqrt{6} \):

1. Находим угол \( C \): \[ \angle C = 180° - \angle A - \angle B = 180° - 45° - 120° = 15°. \]

2. По закону синусов имеем: \[ \frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} \] Подставляем известные значения: \[ \frac{AC}{\sin 120°} = \frac{12\sqrt{6}}{\sin 45°}. \]

   Значения синусов: \(\sin 120° = \frac{\sqrt{3}}{2}\) и \(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

   Подставляем в формулу: \[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}. \]

   Упрощаем правую часть: \[ \frac{12\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 12\sqrt{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 12\sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = 12\sqrt{12} = 12 \cdot 2\sqrt{3} = 24\sqrt{3}. \]

   Теперь подставим это значение обратно в уравнение: \[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 24\sqrt{3}. \]

   Умножаем обе стороны на \( \frac{\sqrt{3}}{2} \): \[ AC = 24\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24 \cdot \frac{3}{2} = 36. \]

Таким образом, длина стороны \( AC \) в первом треугольнике \( ABC \) равна 36.

Теперь переходим ко второму треугольнику \( ABC \), в котором угол \( A = 45° \), угол \( C = 15° \) и \( BC = 4\sqrt{6} \):

1. Находим угол \( B \): \[ \angle B = 180° - \angle A - \angle C = 180° - 45° - 15° = 120°. \]

2. Используя закон синусов: \[ \frac{AC}{\sin C} = \frac{BC}{\sin A}. \]

   Вводим известные значения: \[ \frac{AC}{\sin 15°} = \frac{4\sqrt{6}}{\sin 45°}. \]

   Синусы: \(\sin 15° = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\) и \(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

   Подставляем: \[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} = \frac{4\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}. \]

   Справа имеем: \[ \frac{4\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 4\sqrt{6} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{12} = 8\sqrt{3}. \]

   Теперь подставим это значение в уравнение: \[ AC \cdot \frac{4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} = 8\sqrt{3}. \]

   Умножим обе стороны на \( \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \): \[ AC = 8\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = 2\sqrt{3} \cdot (\sqrt{6} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{18} - 2\sqrt{6} = 6\sqrt{2} - 2\sqrt{6}. \]

Таким образом, длина стороны \( AC \) во втором треугольнике \( ABC \) равна \( 6\sqrt{2} - 2\sqrt{6} \).