Вася составляет 5-буквенные слова, в которых есть только| буквы К,Р,А, Н,Т, причём буКва К испОльзуется В каждоМ слове роВно 2 раза. Каждая из других Допустимых букв может встречаться вслове лЮбое КоличесТво раз или не Встречаться совсем! Словом считается любая допустимая последОвательноеТЬ букв, не обязательно осМысленная. СкоЛько суЩесТвуеттакиХ Слов, которые может написатЬ Вася?
Чтобы решить эту задачу, давайте поэтапно разберем, как составить 5-буквенные слова из заданных букв: К, Р, А, Н, Т, где буква К используется ровно 2 раза, а остальные буквы могут встречаться любое количество раз или не использоваться вообще.
Определение позиций для буквы К: Поскольку буква К должна встречаться ровно 2 раза, сначала выберем 2 позиции из 5 доступных для этих букв. Это можно сделать с помощью сочетаний.
Количество способов выбрать 2 позиции из 5:
\[ C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \]
Таким образом, у нас есть 10 способов расположить букву К в слове.
Определение оставшихся позиций: После выбора 2 позиций для буквы К, остаются 3 позиции, которые могут быть заполнены буквами Р, А, Н и Т. Каждая из этих 3 позиций может быть заполнена любыми из этих букв, включая возможность не использовать букву.
Определение вариантов для оставшихся 3 позиций: Каждая из 3 позиций может принимать одно из 5 значений (Р, А, Н, Т или пусто). Поскольку для каждой позиции есть 5 возможных выборов, общее количество способов заполнить 3 позиции будет равно:
\[ 5 \times 5 \times 5 = 5^3 = 125 \]
Общая формула: Теперь, чтобы найти общее количество 5-буквенных слов, которые Вася может составить, необходимо перемножить количество способов выбрать позиции для буквы К и количество способов заполнить остальные позиции:
\[ 10 \times 125 = 1250 \]
Таким образом, Вася может составить 1250 различных слов из данных букв, соблюдая условия задачи.
