Периметрінің 84 см тең ABCD параллелограмның B доғал бұрышының биссектрисасы,AD қабырғасын K нүктесінде қияды. KD:AK=1:3. Оның қабырғаларын табыңыз.

Для решения задачи сначала обозначим стороны параллелограмма ABCD. Пусть AB = a и AD = b. Поскольку ABCD — параллелограмм, то AB = CD и AD = BC.

Периметр параллелограмма определяется формулой: \[ P = 2(a + b) \] В задании указан периметр: \[ 2(a + b) = 84 \] Это можно упростить до: \[ a + b = 42 \quad (1) \]

Теперь рассмотрим биссектрису угла B. Согласно свойству биссектрисы, отношение длин отрезков, на которые она делит сторону AD, совпадает с отношением длин соседних сторон, то есть: \[ \frac{KD}{AK} = \frac{b}{a} \] Мы знаем из условия, что: \[ KD:AK = 1:3 \] Это означает, что KD = x, а AK = 3x, где x — некоторая положительная величина. Тогда: \[ AD = KD + AK = x + 3x = 4x \] Таким образом, можно выразить сторону AD через x: \[ b = 4x \quad (2) \]

Из (1) будет: \[ a + 4x = 42 \] Отсюда можно выразить a: \[ a = 42 - 4x \quad (3) \]

Теперь подставим выражение (3) в соотношение для отношения сторон: \[ \frac{x}{3x} = \frac{4x}{42 - 4x} \] Сократим x (предполагается, что x > 0): \[ \frac{1}{3} = \frac{4}{42 - 4x} \]

Теперь решим это уравнение. Умножим обе стороны на (42 - 4x): \[ 42 - 4x = 12 \] Отсюда: \[ 42 - 12 = 4x \] \[ 30 = 4x \] \[ x = 7.5 \]

Теперь подставим значение x обратно в (2) и (3): \[ b = 4x = 4 \cdot 7.5 = 30 \] \[ a = 42 - 4x = 42 - 30 = 12 \]

Таким образом, стороны параллелограмма ABCD равны: \[ AB = a = 12 \, см \] \[ AD = b = 30 \, см \]

Ответ: Стороны параллелограмма ABCD: 12 см и 30 см.