в верхнем ящике стола лежит 10 белых и 15 чёрных одинаковых по размеру кубиков. в нижнем ящике стола лежит 15 белых 10 чёрных таких же кубиков. Ваня наугад взял из верхнего ящика…

Для решения этой задачи необходимо проанализировать все возможные варианты, которые могут привести к тому, что в верхнем ящике окажется 11 белых и 14 черных кубиков после обмена кубиками между Ваней и Толей.

Дано:

• В верхнем ящике:

  • 10 белых кубиков
  • 15 черных кубиков

• В нижнем ящике:

  • 15 белых кубиков
  • 10 черных кубиков

Итоговая ситуация:

В верхнем ящике должно стать:

• 11 белых кубиков
• 14 черных кубиков

Анализ:

Чтобы в верхнем ящике стало 11 белых и 14 черных кубиков, Ваня, который берет из верхнего ящика, должен взять один белый и один черный кубик (в этом случае он добавит их в нижний ящик), а Толя должен взять один черный и один белый кубик из нижнего ящика, чтобы вернуть в верхний ящик.

Вероятности:

1. Ваня берет кубики из верхнего ящика:

   • Вероятность взять 1 белый и 1 черный кубик (порядок не важен):
     • Вероятность взять 1 белый кубик: \( P(Б) = \frac{10}{25} \)
     • Вероятность взять 1 черный кубик: \( P(Ч) = \frac{15}{24} \)
     • Общая вероятность: \[ P(1 Б, 1 Ч) = \frac{10}{25} \cdot \frac{15}{24} + \frac{15}{25} \cdot \frac{10}{24} = \frac{150}{600} + \frac{150}{600} = \frac{300}{600} = \frac{1}{2} \]

2. Толя берет кубики из нижнего ящика:

   • Вероятность взять 1 белый и 1 черный кубик:
     • Вероятность взять 1 белый кубик: \( P(Б) = \frac{15}{25} \)
     • Вероятность взять 1 черный кубик: \( P(Ч) = \frac{10}{24} \)
     • Общая вероятность: \[ P(1 Б, 1 Ч) = \frac{15}{25} \cdot \frac{10}{24} + \frac{10}{25} \cdot \frac{15}{24} = \frac{150}{600} + \frac{150}{600} = \frac{300}{600} = \frac{1}{2} \]

Общая вероятность:

Теперь мы можем посчитать общую вероятность того, что в верхнем ящике станет 11 белых и 14 черных кубиков после обмена: \[ P(совмещение) = P(Ваня) \cdot P(Толя) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]

Таким образом, вероятность того, что в верхнем ящике станет 11 белых и 14 черных кубиков, равна \( \frac{1}{4} \) или 0.25.