2+8|x-3= 4|x решите уравнение
Давайте решим уравнение \(2 + 8|x - 3| = 4|x|\).
Начнем с того, что у нас есть абсолютные значения, поэтому рассмотрим два случая в зависимости от значения \(x\).
Случай 1: \(x - 3 \geq 0\) (то есть \(x \geq 3\)).
В этом случае \( |x - 3| = x - 3 \), и уравнение становится: \[ 2 + 8(x - 3) = 4|x|. \] Так как \(x \geq 3\), то \(4|x| = 4x\). Подставляя, получаем: \[ 2 + 8(x - 3) = 4x. \] Раскроем скобки: \[ 2 + 8x - 24 = 4x. \] Упрощаем: \[ 8x - 4x = 24 - 2, \] \[ 4x = 22. \] Разделив обе стороны на 4, получаем: \[ x = \frac{22}{4} = 5.5. \] Проверяем, подходит ли это значение под условие \(x \geq 3\): да, подходит.
Случай 2: \(x - 3 < 0\) (то есть \(x < 3\)).
В этом случае \( |x - 3| = -(x - 3) = 3 - x \), и уравнение становится: \[ 2 + 8(3 - x) = 4|x|. \] Так как \(x < 3\), \( |x| = -x \) (если \(x < 0\); если \(0 \leq x < 3\), то \( |x| = x \)). Теперь рассмотрим два подслучая.
Подслучай 2.1: \(x < 0\) (тогда \(|x| = -x\)): \[ 2 + 8(3 - x) = 4(-x). \] Раскроем скобки: \[ 2 + 24 - 8x = -4x. \] Упрощаем: \[ 26 - 8x = -4x, \] \[ 26 = 8x - 4x, \] \[ 26 = 4x. \] Делим обе части на 4: \[ x = \frac{26}{4} = 6.5. \] Это значение не удовлетворяет условию \(x < 0\).
Подслучай 2.2: \(0 \leq x < 3\) (тогда \(|x| = x\)): \[ 2 + 8(3 - x) = 4x. \] Раскроем скобки: \[ 2 + 24 - 8x = 4x. \] Упрощаем: \[ 26 - 8x = 4x, \] \[ 26 = 8x + 4x, \] \[ 26 = 12x. \] Делим на 12: \[ x = \frac{26}{12} = \frac{13}{6} \approx 2.17. \] Это значение удовлетворяет условию \(0 \leq x < 3\).
Теперь у нас два решения:
- \(x = 5.5\) (из первого случая)
- \(x = \frac{13}{6} \approx 2.17\) (из второго случая)
Итак, решения уравнения: \[ x = 5.5 \quad \text{или} \quad x = \frac{13}{6}. \]
