5. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби 9( 4/(sqrt(2)) 2/(sqrt(5) + 1)

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе дроби, нужно умножить числитель и знаменатель на сопряжённое выражение. Рассмотрим вашу дробь:

\[ \frac{4}{\sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{5} + 1} \]

Сначала разберём вторую дробь \(\frac{2}{\sqrt{5} + 1}\). Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим и разделим дробь на сопряжённое выражение \(\sqrt{5} - 1\):

\[ \frac{2}{\sqrt{5} + 1} \cdot \frac{\sqrt{5} - 1}{\sqrt{5} - 1} = \frac{2(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)} \]

Теперь упростим знаменатель:

\[ (\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1) = 5 - 1 = 4 \]

Теперь дробь выглядит так:

\[ \frac{2(\sqrt{5} - 1)}{4} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \]

Таким образом, теперь у нас есть:

\[ \frac{4}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \]

Теперь давайте избавимся от иррациональности в первой дроби \(\frac{4}{\sqrt{2}}\) аналогичным способом, умножив и разделив на \(\sqrt{2}\):

\[ \frac{4}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \]

Теперь объединим обе дроби:

\[ 2\sqrt{2} + \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \]

Для удобства можно привести к общему знаменателю. Общий знаменатель будет 2:

\[ \frac{4\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{5} - 1}{2} = \frac{4\sqrt{2} + \sqrt{5} - 1}{2} \]

Таким образом, результатом будет:

\[ \frac{4\sqrt{2} + \sqrt{5} - 1}{2} \]

Это выражение уже не содержит иррациональностей в знаменателе. Удачи в учёбе!