4. Площадь равнобедренного треугольника равна 4√3. Угол, лежащий против основания равен 120°. Найдите длину боковой стороны.

Чтобы найти длину боковой стороны равнобедренного треугольника, площадь которого равна \( 4\sqrt{3} \) и угол против основания равен \( 120^\circ \), мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника.

Площадь треугольника можно выразить через длину основания \( a \) и высоту \( h \) следующим образом:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h. \]

Также можно использовать формулу площади через два сосредоточенных угла и сторону:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin(\alpha), \] где \( b \) и \( c \) – стороны, а \( \alpha \) – угол между ними. В нашем случае основание и боковые стороны равнобедренного треугольника равны.

Обозначим боковые стороны равнобедренного треугольника \( x \). Угол, лежащий против основания, выражает угол между боковыми сторонами. Тогда:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot x \cdot x \cdot \sin(120^\circ). \]

Зная, что \( \sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), подставим это значение в формулу:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot x^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot x^2. \]

Теперь у нас есть два выражения для площади \( S \):

\[ \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot x^2 = 4\sqrt{3}. \]

Чтобы найти \( x^2 \), разделим обе стороны на \( \sqrt{3} \):

\[ \frac{1}{4} \cdot x^2 = 4 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = 4. \]

Таким образом, длина боковой стороны равнобедренного треугольника составляет \( 4 \).