по дороге домой в школу ученик в начале бежал, а потом шёл причём, оказалось, что он бежал как раз в половину времени, затраченную на дорогу домой из школы, ученик шёл 1 половину…

Давайте разберёмся с задачей о пути ученика.

Пусть скорость ходьбы ученика равна \( v_h \), а скорость бега — \( v_b \). По условию задачи, ученик бежит половину времени пути домой, значит, он проходит половину пути в течение этого времени.

Обозначим полный путь от школы до дома как \( S \). Тогда ученик:

• Проходит половину пути (то есть \( \frac{S}{2} \)) пешком,
• А вторую половину пути (\( \frac{S}{2} \)) — бегом.

Если обозначить время, которое он затрачивает на путь домой, как \( T \), то половину этого времени, то есть \( \frac{T}{2} \), он бежит, а другую половину, \( \frac{T}{2} \), он идёт.

Теперь можно рассчитать пути:

1. Время на ходьбу: \[ t_h = \frac{\frac{S}{2}}{v_h} = \frac{S}{2v_h} \]

2. Время на бег: \[ t_b = \frac{\frac{S}{2}}{v_b} = \frac{S}{2v_b} \]

Общее время пути домой: \[ T = t_h + t_b = \frac{S}{2v_h} + \frac{S}{2v_b} \]

Так как ученик всегда использует одну и ту же скорость и скорость прогулки меньше скорости бега, можно заметить, что время на каждую часть пути опосредовано скоростью.

Рассмотрим, как это сопоставляется с дорогой из дома в школу. Стремясь к более простому представлению, можно заключить:

• Если время на дорогу из школы домой разделено на два типа движения с учетом различных скоростей (где бег идёт быстрее), это означает, что из школы домой ученик затратит меньше времени, чем из дома в школу.

Таким образом, правильный ответ будет: из школы домой ученик добрался быстрее, чем из дома в школу.