.

Привет! Давай разберемся с задачами.

Задача 1: Найти производные

1. a) 2e^(-ln(x))

   Для начала упростим выражение: \(-\ln(x) = \ln(x^{-1})\), поэтому \(e^{-\ln(x)} = x^{-1}\).

   Теперь у нас функция \(2x^{-1}\). Производная этой функции:

   \[ f'(x) = -2x^{-2} \]

2. b) x^2 \cdot log_4(3x)

   Переход к натуральному логарифму: \(\log_4(3x) = \frac{\ln(3x)}{\ln(4)}\). Теперь у нас функция \(f(x) = x^2 \cdot \frac{\ln(3x)}{\ln(4)}\).

   Применяем правило произведения:

   \[ f'(x) = 2x \cdot \frac{\ln(3x)}{\ln(4)} + x^2 \cdot \frac{1}{3x \cdot \ln(4)} \cdot 3 = \frac{2x \ln(3x)}{\ln(4)} + \frac{x}{\ln(4)} \]

3. c) ln(x^3 + 3x)

   Производная логарифма: если \(f(x) = \ln(u(x))\), то \(f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}\).

   Здесь \(u(x) = x^3 + 3x\), его производная \(u'(x) = 3x^2 + 3\).

   \[ f'(x) = \frac{3x^2 + 3}{x^3 + 3x} \]

4. d) cos x \cdot x

   Используем правило произведения:

   \[ f'(x) = (\cos x)' \cdot x + \cos x \cdot (x)' = -\sin x \cdot x + \cos x \]

Задача 2: Найдите производную \( f(x) = e^{-x^2} \) и определите, при каких x она равна 0

Функция: \( f(x) = e^{-x^2} \).

Для производной используем правило цепочки:

\[ f'(x) = -2x \cdot e^{-x^2} \]

Проверяем, когда производная равна нулю:

\[ -2x \cdot e^{-x^2} = 0 \]

Решаем уравнение: очевидно, что \(e^{-x^2} \neq 0\) для всех x, так что единственный вариант \(x = 0\).

Готово! Если остались вопросы, пиши!