(х ²-6x) (x²+5x-6) <0

Чтобы решить неравенство \((x^2 - 6x)(x^2 + 5x - 6) < 0\), начнем с нахождения корней каждого множителя.

1. Найдем корни первого множителя \(x^2 - 6x\): \[ x^2 - 6x = x(x - 6) = 0 \] Здесь корни: \[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 6 \]

2. Теперь найдем корни второго множителя \(x^2 + 5x - 6\): \[ x^2 + 5x - 6 = 0 \] Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \quad a = 1, b = 5, c = -6 \] Рассчитаем дискриминант: \[ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 \] Значит, корни: \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 \pm 7}{2} \] Мы получаем два корня: \[ x_1 = \frac{2}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-12}{2} = -6 \]

Теперь у нас есть четыре корня: \(x = -6\), \(x = 0\), \(x = 1\) и \(x = 6\).

3. Обозначим эти корни на числовой прямой и исследуем знак произведения на интервалах:

   • Интервал \((-∞, -6)\)
   • Интервал \((-6, 0)\)
   • Интервал \((0, 1)\)
   • Интервал \((1, 6)\)
   • Интервал \((6, +∞)\)

4. Проверим знак произведения на каждом интервале:

   • Для \((-∞, -6)\): выберем \(x = -7\): \[ (-)(-) = + \quad (положительное) \]
   • Для \((-6, 0)\): выберем \(x = -1\): \[ (-)(+) = - \quad (отрицательное) \]
   • Для \((0, 1)\): выберем \(x = 0.5\): \[ (+)(+) = + \quad (положительное) \]
   • Для \((1, 6)\): выберем \(x = 2\): \[ (+)(+) = + \quad (положительное) \]
   • Для \((6, +∞)\): выберем \(x = 7\): \[ (+)(+) = + \quad (положительное) \]

Используя эту информацию, мы видим, что неравенство \((x^2 - 6x)(x^2 + 5x - 6) < 0\) выполняется только на интервале \((-6, 0)\).

Итак, окончательный ответ: \[ x \in (-6, 0) \]