Длины рёбер прямоугольного параллелепипеда A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 ABCDA 1 ​ B 1 ​ C 1 ​ D 1 ​ A D = 10 , C D = 6 , C C 1 = 8. AD=10,CD=6,CC 1 ​ =8. Найди площадь сечения…

Для нахождения площади сечения прямоугольного параллелепипеда, которое проходит через точки \( A \), \( D \) и \( B_1 \), начнём с определения координат этих точек.

Обозначим точки следующим образом:

• \( A(0, 0, 0) \)
• \( B( a, 0, 0 ) \)
• \( C( a, b, 0 ) \)
• \( D( 0, b, 0 ) \)
• \( A_1(0, 0, c) \)
• \( B_1(a, 0, c) \)
• \( C_1(a, b, c) \)
• \( D_1(0, b, c) \)

Дано:

• \( AD = 10 \) (по оси Y, то есть \( b = 10 \))
• \( CD = 6 \) (по оси X, то есть \( a = 6 \))
• \( CC_1 = 8 \) (по оси Z, то есть \( c = 8 \))

Итак, подставим значения в координаты:

• \( A(0, 0, 0) \)
• \( D(0, 10, 0) \)
• \( B_1(6, 0, 8) \)

Теперь найдем векторы, определяющие плоскость сечения, проходящую через точки \( A \), \( D \) и \( B_1 \):

1. Вектор \( \vec{AD} = D - A = (0, 10, 0) - (0, 0, 0) = (0, 10, 0) \)
2. Вектор \( \vec{AB_1} = B_1 - A = (6, 0, 8) - (0, 0, 0) = (6, 0, 8) \)

Теперь можем вычислить векторное произведение \( \vec{AD} \times \vec{AB_1} \) для нахождения нормали к плоскости: \[ \vec{AD} \times \vec{AB_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 10 & 0 \\ 6 & 0 & 8 \end{vmatrix} \]

Вычислим определитель: \[ = \hat{i}(10 \cdot 8 - 0 \cdot 0) - \hat{j}(0 \cdot 8 - 0 \cdot 6) + \hat{k}(0 \cdot 0 - 10 \cdot 6) \] \[ = 80 \hat{i} + 0 \hat{j} - 60 \hat{k} = (80, 0, -60) \]

Теперь нам нужно найти длину векторов \( \vec{AD} \) и \( \vec{AB_1} \): \[ |\vec{AD}| = \sqrt{0^2 + 10^2 + 0^2} = \sqrt{100} = 10 \] \[ |\vec{AB_1}| = \sqrt{6^2 + 0^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]

Следовательно, площадь треугольника \( ADB_1 \) можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} |\vec{AD}| \cdot |\vec{AB_1}| \cdot \sin(\theta) \]

Сначала найдем угол \( \theta \) между векторами \( \vec{AD} \) и \( \vec{AB_1} \), используя скалярное произведение: \[ \vec{AD} \cdot \vec{AB_1} = 0 \cdot 6 + 10 \cdot 0 + 0 \cdot 8 = 0 \]

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, значит \( \sin(\theta) = 1 \).

Теперь можем подставить в формулу для площади: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 \cdot 1 = 50 \]

Таким образом, площадь сечения параллелепипеда, проходящего через точки \( A \), \( D \), \( B_1 \) равна \( 50 \) квадратных единиц.