определите, пересекаются ли парабола y = 1/5x^2 и прямая y = 8/5x + 4/5

Чтобы определить, пересекаются ли парабола \( y = \frac{1}{5}x^2 \) и прямая \( y = \frac{8}{5}x + \frac{4}{5} \), следует приравнять их уравнения:

\[ \frac{1}{5}x^2 = \frac{8}{5}x + \frac{4}{5} \]

Умножим обе стороны уравнения на 5, чтобы избавиться от дробей:

\[ x^2 = 8x + 4 \]

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

\[ x^2 - 8x - 4 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение, используя дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 1 \), \( b = -8 \), \( c = -4 \).

Подставляем значения:

\[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 64 + 16 = 80 \]

Так как дискриминант \( D > 0 \), это означает, что уравнение имеет два различных корня. Таким образом, парабола пересекает прямую в двух точках.

Для нахождения конкретных координат точек пересечения можно использовать формулу корней квадратного уравнения:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставляем значения:

\[ x_{1,2} = \frac{8 \pm \sqrt{80}}{2} \]

\[ \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \]

Тогда корни будут:

\[ x_1 = \frac{8 + 4\sqrt{5}}{2} = 4 + 2\sqrt{5} \]

\[ x_2 = \frac{8 - 4\sqrt{5}}{2} = 4 - 2\sqrt{5} \]

Теперь подставляем найденные значения \( x_1 \) и \( x_2 \) в одно из уравнений для нахождения соответствующих \( y \)-координат.

Таким образом, парабола \( y = \frac{1}{5}x^2 \) и прямая \( y = \frac{8}{5}x + \frac{4}{5} \) пересекаются в двух точках.