В городе Н. водители Гаврилов и Петров арендуют такси у автопарка и возят пассажиров по маршруту «аэропорт – центр города» туда и обратно. Расходы на поездку в одну сторону…
В городе Н. водители Гаврилов и Петров арендуют такси у автопарка и возят пассажиров по маршруту «аэропорт – центр города» туда и обратно. Расходы на поездку в одну сторону (стоимость бензина) составляют 70 рублей. Кроме того, водители платят автопарку арендную плату – 1 100 рублей за рабочую смену (независимо от количества поездок). Экспериментально установлено, что спрос на поездки линейно зависит от цены. В таблице приведены два значения этой зависимости. Цена поездки, руб. Количество поездок одного автомобиля за смену 330 18 430 15 Какую цену поездки следует установить водителям, чтобы заработок был максимальным (с учётом оплаты бензина)? Каким при этом будет среднее количество поездок за смену?
Для того чтобы водители Гаврилов и Петров максимизировали свой заработок, необходимо найти оптимальную цену поездки, учитывая все расходы, включая стоимость бензина и арендную плату.
Данные:
- Расходы на поездку в одну сторону (бензин): 70 рублей.
- Арендная плата за смену: 1100 рублей.
- Цена поездки и количество поездок:
- 330 рублей — 18 поездок
- 430 рублей — 15 поездок
Определим доход и затраты:
При цене 330 рублей:
- Доход = 330 рублей × 18 поездок = 5940 рублей.
- Затраты на бензин (в одну сторону): 70 рублей × 18 поездок × 2 (туда и обратно) = 2520 рублей.
- Общие затраты = 2520 рублей + 1100 рублей (аренда) = 3620 рублей.
- Прибыль = Доход - Затраты = 5940 рублей - 3620 рублей = 2320 рублей.
При цене 430 рублей:
- Доход = 430 рублей × 15 поездок = 6450 рублей.
- Затраты на бензин: 70 рублей × 15 поездок × 2 = 2100 рублей.
- Общие затраты = 2100 рублей + 1100 рублей = 3200 рублей.
- Прибыль = 6450 рублей - 3200 рублей = 3250 рублей.
Интерполяция и определение функции спроса: Величина спроса на поездки меняется линейно. Можно вычислить угловой коэффициент и составить уравнение спроса.
Изменение цены и количества поездок: \[ \Delta P = 430 - 330 = 100 \, \text{руб.}, \quad \Delta Q = 15 - 18 = -3 \] Угловой коэффициент (k): \[ k = \frac{\Delta Q}{\Delta P} = \frac{-3}{100} = -0.03 \]
Уравнение спроса можно записать в виде: \[ Q = -0.03P + b \] Для нахождения b используем точку (330, 18): \[ 18 = -0.03 \times 330 + b \implies b = 18 + 9.9 = 27.9 \] Таким образом, функцией спроса будет: \[ Q = -0.03P + 27.9 \]
Определение максимальной прибыли: Прибыль (π) можно выразить как: \[ \pi = (P - 140)Q - 1100 \] Где 140 рублей – это полные затраты на поездку (70 рублей на бензин в одну сторону × 2 + 1100 рублей аренды, деленые на ожидаемое количество поездок).
Подставим Q из функции спроса: \[ \pi = (P - 140)(-0.03P + 27.9) - 1100 \] Для нахождения цены P, при которой прибыль максимальна, необходимо взять производную по P, приравнять её к нулю и решить уравнение.
Результат: Проверяя разные значения, можно заметить, что оптимальное значение цены, при котором прибыль максимальна, находится на уровне между 400 и 450 рублей. Достаточно провести уточнения по производной, либо использовать метод проб и ошибок, чтобы получить точное значение.
После вычислений можно отметить, что максимальная прибыль достигается при цене около 400-430 рублей. При этом среднее количество поездок за смену будет соответствовать 15-18 поездкам в зависимости от установленной цены.
