В параллелограмме ABCD со сторонами АВ = 4 и ВС = 3 и диагональю АС = 6 найдите длину вектора AD - BA
В параллелограмме ABCD стороны AB и AD противолежащие, и мы можем использовать свойства параллелограмма для нахождения длины вектора AD - BA.
Давайте обозначим векторы:
- \( \vec{AB} \) как \( \vec{b} \)
- \( \vec{AD} \) как \( \vec{a} \)
Так как вектор \( \vec{BA} = -\vec{b} \), то длина вектора \( \vec{AD} - \vec{BA} \) будет равна: \[ \vec{AD} - \vec{BA} = \vec{a} + \vec{b} \]
Теперь определим длину этого вектора. По свойствам параллелограмма:
- \( |\vec{AB}| = 4 \)
- \( |\vec{BC}| = 3 \)
Так как параллелограммы противоположные стороны равны и диагонали разделяют его на два треугольника, мы можем использовать теорему о квадрате диагонали.
Согласно теореме о диагоналях в параллелограмме: \[ |\vec{AC}|^2 = |\vec{AB}|^2 + |\vec{AD}|^2 \] Мы знаем, что \( |\vec{AC}| = 6 \), а \( |\vec{AB}| = 4 \).
Обозначим длину \( |\vec{AD}| = x \): \[ 6^2 = 4^2 + x^2 \] \[ 36 = 16 + x^2 \] \[ x^2 = 36 - 16 \] \[ x^2 = 20 \] \[ x = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \]
Теперь мы можем найти длину вектора \( \vec{AD} + \vec{AB} \): Сначала найдем длину вектора: \[ |\vec{AD} + \vec{AB}| = |\vec{a} + \vec{b}| \]
Для нахождения длины \( |\vec{AD} + \vec{AB}| \) воспользуемся формулой: \[ |\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{AD}|^2 + |\vec{AB}|^2 + 2|\vec{AD}||\vec{AB}|\cos \theta \] где \( \theta \) - угол между векторами \( \vec{AD} \) и \( \vec{AB} \). В параллелограмме угол между соседними сторонами является острым или тупым, что дает нам возможность подставить значение \( \cos \theta \) исходя из прямоугольных треугольников.
Однако в данном случае достаточно будет просто знать длины векторов. Мы имеем: \[ |\vec{AD}| = 2\sqrt{5}, \quad |\vec{AB}| = 4 \]
Таким образом, длина вектора \( AD - BA \) равна: \[ |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{|\vec{AD}|^2 + |\vec{AB}|^2} = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 + 4^2} = \sqrt{20 + 16} = \sqrt{36} = 6 \]
Итак, длина вектора \( AD - BA \) составляет 6.
