ТЕМА: «Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы, число е. Свойства логарифмов» Рассматриваемые вопросы: 1. Логарифм числа. 2. Десятичные и натуральные логарифмы. 3.…
ТЕМА: «Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы, число е. Свойства логарифмов» Рассматриваемые вопросы: 1. Логарифм числа. 2. Десятичные и натуральные логарифмы. 3. Основное логарифмическое тождество. 4. Свойства логарифмов. Краткое содержание теоретического материала Логарифмы Логарифм положительного числа b по основанию a, где - это показатель степени, в которую нужно возвести числа а, чтобы получить b где Основное логарифмическое тождество: Десятичный логарифм – логарифм по основанию 10, обозначается , т.е. Натуральный логарифм – логарифм по основанию e, где – экспонента, обозначается , т.е. Логарифмирование - нахождeние логарифма числа по заданному числу Потенцирование - нахождение числа по заданному логарифму Десятичный логарифм числа – это логарифм по основанию 10 и пишут вместо . . Натуральный логарифм числа – это логарифм этого числа по основанию , где – иррациональное число и пишут вместо . . Остается вопрос, как находить значения логарифмов по другим основаниям? Для этого вспомним основное логарифмическое тождество: . Прологарифмируем обе части по основанию с (т. е. вычислим логарифм по основанию с левой и правой части равенства.): . Применим свойство логарифма степени : . Разделим обе части на : . Мы вывели формулу перехода к новому основанию. На заметку: и . По формуле перехода к новому основанию приведем к десятичным и натуральным логарифмам. Формула перехода к десятичным логарифмам: Формула перехода к натуральным логарифмам: Свойства логарифмов: Формулы перехода: 1 1 2 2 3 3 4 5 Вопросы для самоконтроля 1. Что называется логарифмом числа. 2. Как обозначаются десятичные и натуральные логарифмы. 3. Основное логарифмическое тождество. 4. Свойства логарифмов.
Тема: «Логарифм числа. Десятичные и натуральные логарифмы, число e. Свойства логарифмов»
Давайте подробно рассмотрим каждый из пунктов, чтобы уяснить основные понятия и формулы, связанные с логарифмами.
1. Логарифм числа
Логарифм положительного числа \( b \) по основанию \( a \) определяет степень, в которую нужно возвести основание \( a \), чтобы получить \( b \). Обозначается это так:
\[ \log_a b = c \quad \text{т.е.} \quad a^c = b \]
Здесь \( c \) — это значение логарифма, а \( a \) должно быть положительным и не равным 1.
2. Десятичные и натуральные логарифмы
Десятичный логарифм — это логарифм по основанию 10, обозначается как \( \log_{10} x \) и часто просто пишется как \( \log x \).
Натуральный логарифм — это логарифм по основанию \( e \), где \( e \) — это иррациональное число, приблизительно равное 2.71828. Натуральный логарифм обозначается как \( \ln x \).
3. Основное логарифмическое тождество
Основное логарифмическое тождество помогает перейти между различными основаниями логарифмов. Оно записывается как:
\[ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \]
где \( c \) — любое положительное число, отлично от 1. Это тождество позволяет вычислять логарифмы с одним основанием, используя логарифмы с другим основанием.
4. Свойства логарифмов
Существует несколько ключевых свойств логарифмов, которые полезны при их использовании:
Логарифм произведения: \[ \log_a (xy) = \log_a x + \log_a y \]
Логарифм частного: \[ \log_a \left(\frac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y \]
Логарифм степени: \[ \log_a (x^n) = n \cdot \log_a x \]
Логарифм единицы: \[ \log_a 1 = 0 \quad \text{(так как} \ a^0 = 1\text{)} \]
Логарифм основания: \[ \log_a a = 1 \quad \text{(так как} \ a^1 = a\text{)} \]
Вопросы для самоконтроля
Что называется логарифмом числа? Логарифм числа — это степень, в которую нужно возвести основание логарифма, чтобы получить это число.
Как обозначаются десятичные и натуральные логарифмы? Десятичный логарифм обозначается как \( \log x \) (или \( \log_{10} x \)), а натуральный логарифм обозначается как \( \ln x \).
Основное логарифмическое тождество? Основное логарифмическое тождество гласит: \[ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \]
Свойства логарифмов?
- Логарифм произведения.
- Логарифм частного.
- Логарифм степени.
- Логарифм единицы.
- Логарифм основания.
Эти концепции и формулы образуют основу понимания логарифмов. Если есть дополнительные вопросы или нужно больше пояснений, не стесняйтесь спрашивать!
