(x²-3x) :(x2-8x+7) <0

Чтобы решить неравенство \((x^2 - 3x) : (x^2 - 8x + 7) < 0\), начнем с упрощения каждого элемента.

1. Найдем нули числителя и знаменателя:

   • Числитель: \(x^2 - 3x = x(x - 3)\). Нули числителя находятся при \(x = 0\) и \(x = 3\).
   • Знаменатель: \(x^2 - 8x + 7 = (x - 1)(x - 7)\). Нули знаменателя находятся при \(x = 1\) и \(x = 7\).

2. Определим значения, при которых дробь равна нулю или не определена:

   • Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, т.е. \(x = 0\) или \(x = 3\).
   • Дробь не определена при \(x = 1\) и \(x = 7\) (поскольку в этих точках знаменатель равен нулю).

3. Построим числовую прямую и отметим найденные точки:

   • У нас есть точки: 0, 1, 3 и 7.
   • Разобьем числовую прямую на интервалы: \((-∞, 0)\), \((0, 1)\), \((1, 3)\), \((3, 7)\), \((7, +∞)\).

4. Определим знак дроби на каждом интервале:

   • Для \(x < 0\) (например, \(x = -1\)): \((−)(−) > 0\)
   • Для \(0 < x < 1\) (например, \(x = 0.5\)): \((+)(−) < 0\)
   • Для \(1 < x < 3\) (например, \(x = 2\)): \((+)(−) < 0\)
   • Для \(3 < x < 7\) (например, \(x = 5\)): \((+)(+) > 0\)
   • Для \(x > 7\) (например, \(x = 8\)): \((+)(+) > 0\)

5. Соберем результаты:

   • Дробь отрицательна на интервалах \((0, 1)\) и \((1, 3)\).

6. Запишем итоговое решение:

   • Неравенство \((x^2 - 3x) : (x^2 - 8x + 7) < 0\) выполняется для \(x \in (0, 1) \cup (1, 3)\).

Таким образом, решение данного неравенства: \(x \in (0, 1) \cup (1, 3)\).