Даны точки А(8;4;3) В(10;2;3) С(4;-4;3) D(2;-2;3) докажите чтоАВСD прямоугольник
Чтобы доказать, что точки A(8; 4; 3), B(10; 2; 3), C(4; -4; 3) и D(2; -2; 3) образуют прямоугольник, нам нужно проверить, что противоположные стороны равны и что углы между ними равны 90 градусов.
Найдем длины сторон. Для этого используем формулу расстояния между двумя точками в пространстве:
\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]
Сторона AB: \[ AB = \sqrt{(10 - 8)^2 + (2 - 4)^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]
Сторона BC: \[ BC = \sqrt{(4 - 10)^2 + (-4 - 2)^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (-6)^2 + 0^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \]
Сторона CD: \[ CD = \sqrt{(2 - 4)^2 + (-2 - (-4))^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (2)^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]
Сторона DA: \[ DA = \sqrt{(8 - 2)^2 + (4 - (-2))^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + 6^2 + 0^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \]
Проверим равенство сторон:
- Стороны AB и CD равны: \( AB = CD = 2\sqrt{2} \)
- Стороны BC и DA равны: \( BC = DA = 6\sqrt{2} \)
Проверим перпендикулярность. Для этого найдем углы между векторами:
- Вектор AB: \( \vec{AB} = (10-8, 2-4, 3-3) = (2, -2, 0) \)
- Вектор BC: \( \vec{BC} = (4-10, -4-2, 3-3) = (-6, -6, 0) \)
Угол между векторами можно найти с помощью скалярного произведения:
\[ \vec{AB} \cdot \vec{BC} = 2 \cdot (-6) + (-2) \cdot (-6) + 0 \cdot 0 = -12 + 12 + 0 = 0 \]
Так как скалярное произведение равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны.
Таким образом, мы доказали, что A, B, C и D образуют прямоугольник, так как у нас есть две пары равных сторон и углы, равные 90 градусам.
