В треугольнике ABC дано: <С=90°, AC=5 см, ВС=8, СМ- медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причём СК= 12 см. Найдите КМ.
В треугольнике ABC, где угол C равен 90°, AC = 5 см и BC = 8 см, мы можем найти длину медианы CM. Медиану можно вычислить с помощью следующей формулы для медианы в прямоугольном треугольнике:
\[ CM = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2} \]
где A и B — это длины катетов. Подставим известные значения:
- AC = 5 см
- BC = 8 см
По теореме Пифагора можем найти длину AB:
\[ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{5^2 + 8^2} = \sqrt{25 + 64} = \sqrt{89} \approx 9.43 \text{ см} \]
Теперь подставим значения в формулу для медианы CM:
\[ CM = \frac{1}{2} \sqrt{2 \times AC^2 + 2 \times BC^2 - AB^2} \] \[ CM = \frac{1}{2} \sqrt{2 \times 5^2 + 2 \times 8^2 - (AB)^2} \] \[ CM = \frac{1}{2} \sqrt{2 \times 25 + 2 \times 64 - 89} \] \[ CM = \frac{1}{2} \sqrt{50 + 128 - 89} \] \[ CM = \frac{1}{2} \sqrt{89} \approx \frac{1}{2} \times 9.43 \approx 4.72 \text{ см} \]
Теперь найдем длину отрезка KM. Сначала найдем координаты точки K.
Точка K находится на прямой CK и перпендикулярна плоскости треугольника ABC. Поскольку CK = 12 см, и CM = 4.72 см, то мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник CKM, где KM будет одной из сторон.
Используем теорему Пифагора:
\[ CK^2 = CM^2 + KM^2 \]
Подставим известные величины:
\[ 12^2 = (4.72)^2 + KM^2 \] \[ 144 = 22.23 + KM^2 \] \[ KM^2 = 144 - 22.23 = 121.77 \] \[ KM \approx \sqrt{121.77} \approx 11.03 \text{ см} \]
Таким образом, длина отрезка KM составляет примерно 11.03 см.
