Для того, чтобы стационарная точка дважды дифференцируемой функции (2) дава точкой локального минимума, достаточно чтобы
Чтобы стационарная точка двумерной дифференцируемой функции \( f(x, y) \) была точкой локального минимума, необходимо, чтобы выполнялись определенные условия.
Стационарная точка: Сначала нужно проверить, что в точке \((x_0, y_0)\) функции выполняются условия стационарности, т.е. частные производные функции по всем переменным равны нулю: \[ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) = 0 \quad \text{и} \quad \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) = 0. \]
Вторые производные: Затем необходимо проанализировать вторые производные функции в этой точке. Для этого вычисляется определитель Гессиана \( H \), который определяется как: \[ H = D = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0, y_0) \cdot \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_0, y_0) - \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x_0, y_0)\right)^2. \]
Условия для локального минимума: Для того чтобы точка \((x_0, y_0)\) была точкой локального минимума, необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:
- \( H > 0 \) (определитель Гессиана положителен),
- \( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_0, y_0) > 0 \) (вторая производная по \( x \) положительна).
Если эти условия выполнены, то в точке \((x_0, y_0)\) функция достигает локального минимума.
Таким образом, для подтверждения, что стационарная точка является локальным минимумом, важно не только проверить стационарность, но и анализировать вторые производные.
