3.365. Определите волновое число, фазовую скорость v, волновое сопротивление Zc и частоту v для плоской гармонической электромагнитной волны в воздухе и в воде для λ = 3 см, λ =…

Для определения волнового числа, фазовой скорости, волнового сопротивления и частоты плоской гармонической электромагнитной волны в воздухе и в воде для заданных длин волн, воспользуемся следующими формулами:

1. Волновое число (k): \[ k = \frac{2\pi}{\lambda} \]

2. Фазовая скорость (v): \[ v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon \mu}} \] где \( c \) — скорость света в вакууме (\( c \approx 3 \times 10^8 \) м/с), \( \varepsilon \) и \( \mu \) — диэлектрическая проницаемость и магнитная проницаемость среды, соответственно.

3. Волновое сопротивление (Zc): \[ Zc = \sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}} \]

4. Частота (ν): \[ \nu = \frac{c}{\lambda} \]

Теперь проведем расчеты для каждой заданной длины волны:

1. Длина волны \( \lambda = 3 \, \text{см} = 0.03 \, \text{м} \)

В воздухе:

• \( \varepsilon_{возд} = 1 \), \( \mu_{возд} = 1 \)
  • \( k = \frac{2\pi}{0.03} \approx 209.44 \, \text{рад/м} \)
  • \( v = \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{1 \cdot 1}} = 3 \times 10^8 \, \text{м/с} \)
  • \( Zc = \sqrt{\frac{1}{1}} = 1 \, \Omega \)
  • \( \nu = \frac{3 \times 10^8}{0.03} \approx 1 \times 10^{10} \, \text{Гц} \)

В воде:

• \( \varepsilon_{вода} = 81 \), \( \mu_{вода} = 1 \)
  • \( k = \frac{2\pi}{0.03} \approx 209.44 \, \text{рад/м} \)
  • \( v = \frac{3 \times 10^8}{\sqrt{81 \cdot 1}} = \frac{3 \times 10^8}{9} \approx 3.33 \times 10^7 \, \text{м/с} \)
  • \( Zc = \sqrt{\frac{1}{81}} \approx 0.111 \, \Omega \)
  • \( \nu = \frac{3 \times 10^8}{0.03} \approx 1 \times 10^{10} \, \text{Гц} \)

2. Длина волны \( \lambda = 300 \, \text{м} \)

В воздухе:

• \( k = \frac{2\pi}{300} \approx 0.0209 \, \text{рад/м} \)
• \( v = 3 \times 10^8 \, \text{м/с} \)
• \( Zc = 1 \, \Omega \)
• \( \nu = \frac{3 \times 10^8}{300} \approx 1 \times 10^6 \, \text{Гц} \)

В воде:

• \( k = \frac{2\pi}{300} \approx 0.0209 \, \text{рад/м} \)
• \( v \approx 3.33 \times 10^7 \, \text{м/с} \)
• \( Zc \approx 0.111 \, \Omega \)
• \( \nu \approx 1 \times 10^6 \, \text{Гц} \)

3. Длина волны \( \lambda = 3 \, \text{км} = 3000 \, \text{м} \)

В воздухе:

• \( k = \frac{2\pi}{3000} \approx 0.0021 \, \text{рад/м} \)
• \( v = 3 \times 10^8 \, \text{м/с} \)
• \( Zc = 1 \, \Omega \)
• \( \nu = \frac{3 \times 10^8}{3000} \approx 1 \times 10^5 \, \text{Гц} \)

В воде:

• \( k = \frac{2\pi}{3000} \approx 0.0021 \, \text{рад/м} \)
• \( v \approx 3.33 \times 10^7 \, \text{м/с} \)
• \( Zc \approx 0.111 \, \Omega \)
• \( \nu \approx 1 \times 10^5 \, \text{Гц} \)

Итог

Для каждой длины волны получили следующие результаты:

1. \( \lambda = 3 \, \text{см} \):

   • Воздух: \( k \approx 209.44 \, \text{рад/м}, v \approx 3 \times 10^8 \, \text{м/с}, Zc = 1 \, \Omega, \nu \approx 1 \times 10^{10} \, \text{Гц} \)
   • Вода: \( k \approx 209.44 \, \text{рад/м}, v \approx 3.33 \times 10^7 \, \text{м/с}, Zc \approx 0.111 \, \Omega, \nu \approx 1 \times 10^{10} \, \text{Гц} \)

2. \( \lambda = 300 \, \text{м} \):

   • Воздух: \( k \approx 0.0209 \, \text{рад/м}, v = 3 \times 10^8 \, \text{м/с}, Zc = 1 \, \Omega, \nu \approx 1 \times 10^6 \, \text{Гц} \)
   • Вода: \( k \approx 0.0209 \, \text{рад/м}, v \approx 3.33 \times 10^7 \, \text{м/с}, Zc \approx 0.111 \, \Omega, \nu \approx 1 \times 10^6 \, \text{Гц} \)

3. \( \lambda = 3 \, \text{км} \):

   • Воздух: \( k \approx 0.0021 \, \text{рад/м}, v = 3 \times 10^8 \, \text{м/с}, Zc = 1 \, \Omega, \nu \approx 1 \times 10^5 \, \text{Гц} \)
   • Вода: \( k \approx 0.0021 \, \text{рад/м}, v \approx 3.33 \times 10^7 \, \text{м/с}, Zc \approx 0.111 \, \Omega, \nu \approx 1 \times 10^5 \, \text{Гц} \)

Эти результаты помогут вам лучше понять характеристики электромагнитных волн в различных средах. Если у вас есть дополнительные вопросы или если вам нужно больше информации по этой теме, не стесняйтесь спрашивать!