Решите уравнение arcsin(x² + 4x + 3,5)=П/6
Для решения уравнения \( \arcsin(x^2 + 4x + 3.5) = \frac{\pi}{6} \) начнем с того, что мы можем выразить аргумент синуса:
Применим синус к обеим сторонам уравнения: \[ x^2 + 4x + 3.5 = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \]
Помним, что \( \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \). Таким образом, уравнение упрощается до: \[ x^2 + 4x + 3.5 = \frac{1}{2} \]
Приведем все члены уравнения к одной стороне: \[ x^2 + 4x + 3.5 - \frac{1}{2} = 0 \] Это дает: \[ x^2 + 4x + 3 = 0 \]
Теперь можем решить квадратное уравнение \( x^2 + 4x + 3 = 0 \) с помощью дискриминанта. Дискриминант \( D \) рассчитывается по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 1 \), \( b = 4 \), \( c = 3 \): \[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \]
Поскольку дискриминант положительный, у уравнения будет два корня. Используем формулу для нахождения корней: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим значения \( a \), \( b \) и \( D \): \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 2}{2} \]
Рассчитаем два возможных значения для \( x \):
- Первый корень: \[ x_1 = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]
- Второй корень: \[ x_2 = \frac{-4 - 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]
Таким образом, решения уравнения: \[ x = -1 \quad \text{и} \quad x = -3 \]
Не забудьте проверить, что полученные значения \( x \) удовлетворяют условию, что аргумент функции \( \arcsin \) должен находиться в диапазоне от -1 до 1. Для проверки:
\( x = -1 \): \[ -1^2 + 4 \cdot (-1) + 3.5 = 1 - 4 + 3.5 = 0.5 \quad \text{(допустимо)} \]
\( x = -3 \): \[ -3^2 + 4 \cdot (-3) + 3.5 = 9 - 12 + 3.5 = 0.5 \quad \text{(допустимо)} \]
Оба значения корректны, и уравнение имеет решения \( x = -1 \) и \( x = -3 \).
