В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в…

Чтобы найти время, через которое в баке останется четверть первоначального объёма воды, начнём с анализа данного уравнения для высоты водного столба в баке:

\[ H(t) = H_0 - \left(\frac{1}{2g} H_0 k\right) t + k_2 t^2 \]

где:

• \( H_0 = 5 \, \text{м} \) — начальная высота водного столба,
• \( g = 10 \, \text{м/с}^2 \) — ускорение свободного падения,
• \( k \) — отношение площадей поперечных сечений крана и бака,
• \( t \) — время в секундах.

Исходя из условия задачи, нам нужно выяснить, через сколько секунд \( t \) высота водного столба \( H(t) \) станет равной четверти его первоначальной высоты. Четверть от \( H_0 \):

\[ \frac{H_0}{4} = \frac{5 \, \text{м}}{4} = 1.25 \, \text{м} \]

Теперь составим уравнение:

\[ H(t) = 1.25 \]

Подставим в уравнение выражение для \( H(t) \):

\[ 1.25 = 5 - \left(\frac{1}{2 \cdot 10} \cdot 5 \cdot k\right) t + k_2 t^2 \]

Преобразуем это уравнение:

\[ 1.25 = 5 - \left(\frac{5k}{20}\right) t + k_2 t^2 \]

Упрощаем:

\[ 1.25 = 5 - \frac{5k}{20} t + k_2 t^2 \]

Переносим 1.25 в другую сторону:

\[ 0 = 5 - 1.25 - \frac{5k}{20} t + k_2 t^2 \]

В результате:

\[ 0 = 3.75 - \frac{5k}{20} t + k_2 t^2 \]

Теперь можно выразить это уравнение в стандартной форме:

\[ k_2 t^2 - \frac{5k}{20} t + 3.75 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с использованием формулы для решения квадратных уравнений:

\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Где:

• \( a = k_2 \),
• \( b = -\frac{5k}{20} \),
• \( c = 3.75 \).

После подстановки значений вы сможете найти \( t \), которое соответствует времени, когда в баке осталась четверть первоначального объёма воды. Не забудьте подставить конкретное значение \( k \), чтобы получить окончательный ответ.