√(14-6√5)

Чтобы упростить выражение \(\sqrt{14 - 6\sqrt{5}}\), давайте попробуем выразить его в более понятной форме.

Мы можем предположить, что это выражение можно представить в виде \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\) для некоторых \(a\) и \(b\). В этом случае:

\[ \sqrt{14 - 6\sqrt{5}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} \]

Тогда возводим обе стороны в квадрат:

\[ 14 - 6\sqrt{5} = a + b - 2\sqrt{ab} \]

Это дает нам две системы уравнений:

1. \(a + b = 14\)
2. \(-2\sqrt{ab} = -6\sqrt{5}\)

Из второго уравнения получаем:

\[ 2\sqrt{ab} = 6\sqrt{5} \quad \Rightarrow \quad \sqrt{ab} = 3\sqrt{5} \quad \Rightarrow \quad ab = 45 \]

Теперь у нас есть система:

1. \(a + b = 14\)
2. \(ab = 45\)

Эта система может быть решена как уравнение с корнями:

\[ x^2 - (a + b)x + ab = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 14x + 45 = 0 \]

Решаем это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

\[ x = \frac{14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \cdot 45}}{2} \] \[ x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 180}}{2} = \frac{14 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{14 \pm 4}{2} \]

Это дает нам корни:

1. \(x_1 = \frac{18}{2} = 9\)
2. \(x_2 = \frac{10}{2} = 5\)

Таким образом, \(a = 9\) и \(b = 5\) (либо наоборот).

Следовательно, у нас есть:

\[ \sqrt{14 - 6\sqrt{5}} = \sqrt{9} - \sqrt{5} = 3 - \sqrt{5} \]

Итак, окончательный ответ:

\[ \sqrt{14 - 6\sqrt{5}} = 3 - \sqrt{5} \]